Упр.518 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2-x-2=0;
2) x^2-5x-6=0;
3) x^2+3x+2=0;
4) x^2+3x-4=0;
5) x^2-7x+5=0;
6) x^2+9x-6=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x+y=41
v(x/y)+v(y/x)=41/20)+
2) {(x+y=10
vx+vy=4)+
3) {(x+y=5
vx+vy=3)+
4) {(x-y=13
vx-vy=1)+
- Для приведённого квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ сумма корней равна $$x_1+x_2=-p$$, а произведение корней равно $$x_1x_2=q$$.
1) $$x^2-x-2=0$$
$$x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-2.$$2) $$x^2-5x-6=0$$
$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=-6.$$3) $$x^2+3x+2=0$$
$$x_1+x_2=-3,\quad x_1x_2=2.$$4) $$x^2+3x-4=0$$
$$x_1+x_2=-3,\quad x_1x_2=-4.$$5) $$x^2-7x+5=0$$
$$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=5.$$6) $$x^2+9x-6=0$$
$$x_1+x_2=-9,\quad x_1x_2=-6.$$ 1)
$$\begin{cases} x+y=41,\\ \sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{41}{20} \end{cases}$$Обозначим $$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=t,\quad \sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{1}{t},\quad t>0.$$ Тогда
$$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{41}{20}.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-\dfrac{41}{20}t+1=0.$$
Отсюда
$$t_{1,2}=\dfrac{41}{40}\pm\dfrac{9}{40},$$
значит,
$$t_1=\dfrac{5}{4},\quad t_2=\dfrac{4}{5}.$$Если $$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{5}{4},$$ то $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{25}{16}$$, значит $$x=\dfrac{25}{16}y$$. Подставим в первое уравнение:
$$\dfrac{25}{16}y+y=41,$$
$$\dfrac{41}{16}y=41,$$
$$y=16,\quad x=25.$$Если $$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{4}{5},$$ то $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{25}$$, значит $$x=\dfrac{16}{25}y$$. Тогда
$$\dfrac{16}{25}y+y=41,$$
$$\dfrac{41}{25}y=41,$$
$$y=25,\quad x=16.$$Ответ: $$(25;16),\ (16;25).$$
2)
$$\begin{cases} x+y=10,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 \end{cases}$$Возведём второе уравнение в квадрат:
$$x+2\sqrt{xy}+y=16.$$
Так как $$x+y=10$$, получаем
$$10+2\sqrt{xy}=16,$$
$$\sqrt{xy}=3.$$Тогда
$$\begin{cases} x+y=10,\\ xy=9 \end{cases}$$
— корни уравнения $$t^2-10t+9=0$$, откуда
$$t_1=1,\quad t_2=9.$$Следовательно, решения системы:
$$(1;9),\ (9;1).$$3)
$$\begin{cases} x+y=5,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \end{cases}$$Возведём второе уравнение в квадрат:
$$x+2\sqrt{xy}+y=9.$$
С учётом $$x+y=5$$ имеем
$$5+2\sqrt{xy}=9,$$
$$\sqrt{xy}=2,$$
значит
$$xy=4.$$Тогда
$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=4 \end{cases}$$
— корни уравнения $$t^2-5t+4=0$$:
$$t_1=1,\quad t_2=4.$$Следовательно, решения системы:
$$(1;4),\ (4;1).$$4)
$$\begin{cases} x-y=13,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1 \end{cases}$$Обозначим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}$$. Тогда
$$a^2-b^2=13,\quad a-b=1.$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем
$$1\cdot(a+b)=13,$$
значит
$$a+b=13.$$Решаем систему:
$$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=13 \end{cases}$$
Отсюда
$$a=7,\quad b=6.$$
Тогда
$$x=49,\quad y=36.$$Ответ: $$(49;36).$$
Ответ
1) $$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-2;\quad x_1+x_2=5,\ x_1x_2=-6;\quad x_1+x_2=-3,\ x_1x_2=2;\quad x_1+x_2=-3,\ x_1x_2=-4;\quad x_1+x_2=7,\ x_1x_2=5;\quad x_1+x_2=-9,\ x_1x_2=-6.$$
2) $$(25;16),\ (16;25).$$
3) $$(1;9),\ (9;1).$$
4) $$(1;4),\ (4;1).$$
5) $$(49;36).$$
