Упр.517 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2+4x-5=0;
2) x^2-6x-7=0;
3) x^2-8x-9=0;
4) x^2+6x-40=0;
5) x^2+x-6=0;
6) x^2-x-2=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x^3+27y^3=54
x^2-3xy+9y^2=9)+
2) {(x^2-xy+y^2=19
x^2+xy+y^2=49)+
3) {(x^3-y^3=72
x-y=6)+
4) {(x^2+5xy+y^2=25
5x+y=8)+
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=1$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7$$
$$x^2-8x-9=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=9$$
$$x^2+6x-40=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-40)=36+160=196$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 14}{2}$$
$$x_1=-10,\quad x_2=4$$
$$x^2+x-6=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2$$
$$x^2-x-2=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
$$\begin{cases} x^3+27y^3=54 \\ x^2-3xy+9y^2=9 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x^3+27y^3}{x^2-3xy+9y^2}=\frac{54}{9}=6$$
Так как $$x^3+27y^3=(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)$$, получаем:
$$x+3y=6$$
$$3y=6-x$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-3x\cdot\frac{6-x}{3}+9\left(\frac{6-x}{3}\right)^2=9$$
$$x^2-x(6-x)+(6-x)^2=9$$
$$x^2-6x+x^2+36-12x+x^2=9$$
$$3x^2-18x+27=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x=3,\quad y=1$$
$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=19 \\ x^2+xy+y^2=49 \end{cases}$$
Сложим и вычтем уравнения:
$$\begin{cases} 2x^2+2y^2=68 \\ -2xy=-30 \end{cases}$$
$$x^2+y^2=34,\quad xy=15$$
Тогда
$$x^2+2xy+y^2=34+30=64$$
$$\left(x+y\right)^2=64$$
$$x+y=8 \quad \text{или} \quad x+y=-8$$
1) Если $$x+y=8$$ и $$xy=15$$, то $$x=3,\ y=5$$ или $$x=5,\ y=3$$.
2) Если $$x+y=-8$$ и $$xy=15$$, то $$x=-3,\ y=-5$$ или $$x=-5,\ y=-3$$.
$$\begin{cases} x^3-y^3=72 \\ x-y=6 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=\frac{72}{6}=12$$
Так как $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$, получаем:
$$x^2+xy+y^2=12$$
Из $$x-y=6$$ имеем $$x=y+6$$. Подставим:
$$\left(y+6\right)^2+y\left(y+6\right)+y^2=12$$
$$3y^2+18y+36=12$$
$$3y^2+18y+24=0$$
$$y^2+6y+8=0$$
$$\left(y+2\right)\left(y+4\right)=0$$
$$y=-2 \ \text{или}\ y=-4$$
Тогда $$x=4$$ или $$x=2$$ соответственно.
$$\begin{cases} x^2+5xy+y^2=25 \\ 5x+y=8 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=8-5x$$
Подставим в первое:
$$x^2+5x(8-5x)+(8-5x)^2=25$$
$$x^2+40x-25x^2+64-80x+25x^2=25$$
$$x^2-40x+39=0$$
$$D=(-40)^2-4\cdot 1\cdot 39=1600-1564=36$$
$$x_{1,2}=\frac{40\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=39$$
Тогда
$$x=1 \Rightarrow y=3$$
$$x=39 \Rightarrow y=-187$$
Ответ
1) $$x=-5,\ 1$$; 2) $$x=-1,\ 7$$; 3) $$x=-1,\ 9$$; 4) $$x=-10,\ 4$$; 5) $$x=-3,\ 2$$; 6) $$x=-1,\ 2$$; 7) $$(3;\,1)$$; 8) $$(3;\,5),\ (5;\,3),\ (-5;\,-3),\ (-3;\,-5)$$; 9) $$(2;\,-4),\ (4;\,-2)$$; 10) $$(39;\,-187),\ (1;\,3)$$.
