Упр.516 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что уравнение $$ax^2+bx-a=0$$ при $$a\ne0$$ и любом $$b$$ имеет два различных корня.
2. Решить систему уравнений:
   1. $$\begin{cases} x^3+y^3=28, \\ xy^2+x^2y=12; \end{cases}$$
   2. $$\begin{cases} xy^2+xy^3=10, \\ x+xy=10. \end{cases}$$

1) Рассмотрим уравнение $$ax^2+bx-a=0,\quad a\ne 0.$$

Его дискриминант:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot(-a)=b^2+4a^2.$$

Так как $$a\ne 0,$$ то $$4a^2>0,$$ значит

$$D=b^2+4a^2>0.$$

Следовательно, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Решим систему

$$\begin{cases} x^3+y^3=28,\\ xy^2+x^2y=12. \end{cases}$$

Так как $$xy^2+x^2y=xy(x+y),$$ а $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ получаем

$$\frac{x^3+y^3}{xy^2+x^2y}=\frac{28}{12}=\frac73.$$

Тогда

$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}=\frac73,$$

откуда

$$\frac{x^2-xy+y^2}{xy}=\frac73.$$

Умножим на $$3xy$$:

$$3x^2-3xy+3y^2=7xy,$$

$$3x^2-10xy+3y^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$3x^2-10yx+3y^2=0.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{10y\pm\sqrt{100y^2-36y^2}}{6} =\frac{10y\pm 8y}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac y3,\qquad x_2=3y.$$

Случай 1: $$x=\frac y3.$$ Тогда из второго уравнения:

$$xy^2+x^2y=12$$

$$\frac y3\cdot y^2+\left(\frac y3\right)^2y=12$$

$$\frac13y^3+\frac19y^3=12$$

$$\frac49y^3=12$$

$$y^3=27,\quad y=3,\quad x=1.$$

Случай 2: $$x=3y.$$ Тогда

$$xy^2+x^2y=12$$

$$3y\cdot y^2+(3y)^2y=12$$

$$3y^3+9y^3=12$$

$$12y^3=12,\quad y^3=1,\quad y=1,\quad x=3.$$

Итак, решения системы:

$$(1;3),\ (3;1).$$

3) Решим систему

$$\begin{cases} xy^2+xy^3=10,\\ x+xy=10. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$xy^2(1+y)=10,\qquad x(1+y)=10.$$

Так как $$x(1+y)=10,$$ то $$x\ne 0$$ и $$1+y\ne 0.$$ Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{xy^2(1+y)}{x(1+y)}=1,$$

откуда

$$y^2=1.$$

Значит, $$y=1$$ или $$y=-1.$$

Если $$y=1,$$ то из $$x(1+y)=10$$ получаем

$$2x=10,\quad x=5.$$

Если $$y=-1,$$ то $$1+y=0,$$ и второе уравнение даёт противоречие $$0=10,$$ значит, решений нет.

Следовательно, решение системы:

$$(5;1).$$

Ответ

Уравнение $$ax^2+bx-a=0$$ при $$a\ne 0$$ и любом $$b$$ имеет два различных корня.

1) $$(1;3),\ (3;1).$$

2) $$(5;1).$$