Упр.516 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Решить систему уравнений:
1) {(x^3+y^3=28
xy^2+x^2 y=12)+
2) {(xy^2+xy^3=10
x+xy=10)+
1) Рассмотрим уравнение $$ax^2+bx-a=0,\quad a\ne 0.$$
Его дискриминант:
$$D=b^2-4\cdot a\cdot(-a)=b^2+4a^2.$$
Так как $$a\ne 0,$$ то $$4a^2>0,$$ значит
$$D=b^2+4a^2>0.$$
Следовательно, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
2) Решим систему
$$ \begin{cases} x^3+y^3=28,\\ xy^2+x^2y=12. \end{cases} $$
Так как $$xy^2+x^2y=xy(x+y),$$ а $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ получаем
$$ \frac{x^3+y^3}{xy^2+x^2y}=\frac{28}{12}=\frac73. $$
Тогда
$$ \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}=\frac73, $$
откуда
$$ \frac{x^2-xy+y^2}{xy}=\frac73. $$
Умножим на $$3xy$$:
$$ 3x^2-3xy+3y^2=7xy, $$
$$ 3x^2-10xy+3y^2=0. $$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$ 3x^2-10yx+3y^2=0. $$
Тогда
$$ x_{1,2}=\frac{10y\pm\sqrt{100y^2-36y^2}}{6} =\frac{10y\pm 8y}{6}. $$
Получаем:
$$x_1=\frac y3,\qquad x_2=3y.$$
Случай 1: $$x=\frac y3.$$ Тогда из второго уравнения:
$$ xy^2+x^2y=12 $$
$$ \frac y3\cdot y^2+\left(\frac y3\right)^2y=12 $$
$$ \frac13y^3+\frac19y^3=12 $$
$$ \frac49y^3=12 $$
$$ y^3=27,\quad y=3,\quad x=1. $$
Случай 2: $$x=3y.$$ Тогда
$$ xy^2+x^2y=12 $$
$$ 3y\cdot y^2+(3y)^2y=12 $$
$$ 3y^3+9y^3=12 $$
$$ 12y^3=12,\quad y^3=1,\quad y=1,\quad x=3. $$
Итак, решения системы:
$$ (1;3),\ (3;1). $$
3) Решим систему
$$ \begin{cases} xy^2+xy^3=10,\\ x+xy=10. \end{cases} $$
Вынесем общий множитель:
$$ xy^2(1+y)=10,\qquad x(1+y)=10. $$
Так как $$x(1+y)=10,$$ то $$x\ne 0$$ и $$1+y\ne 0.$$ Разделим первое уравнение на второе:
$$ \frac{xy^2(1+y)}{x(1+y)}=1, $$
откуда
$$y^2=1.$$
Значит, $$y=1$$ или $$y=-1.$$
Если $$y=1,$$ то из $$x(1+y)=10$$ получаем
$$2x=10,\quad x=5.$$
Если $$y=-1,$$ то $$1+y=0,$$ и второе уравнение даёт противоречие $$0=10,$$ значит, решений нет.
Следовательно, решение системы:
$$ (5;1). $$
Ответ
Уравнение $$ax^2+bx-a=0$$ при $$a\ne 0$$ и любом $$b$$ имеет два различных корня.
1) $$ (1;3),\ (3;1). $$
2) $$ (5;1). $$
