Упр.515 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Решить систему уравнений:
1) {(x^2-y=7
x^2 y=18)+
2) {(2x^2+y=3
x^2 y-1=0)+
3) {(x^2-y^2=12
x^2+y^2=20)+
4) {(x^2-y^2=21
x^2+y^2=29)+

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+px-1=0.$$

Его дискриминант:

$$D=p^2-4\cdot 1\cdot(-1)=p^2+4.$$

Так как $$p^2+4>0$$ при любом $$p,$$ уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2) Решим системы.

$$ \begin{cases} x^2-y=7,\\ x^2y=18. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$x^2=7+y.$$ Подставим во второе:
$$ (7+y)y=18 $$
$$ y^2+7y-18=0 $$
$$ (y-2)(y+9)=0 $$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-9.$$
При $$y=2$$ имеем $$x^2=9,$$ значит $$x=3$$ или $$x=-3.$$
При $$y=-9$$ получаем $$x^2=-2,$$ действительных решений нет.
Ответ: $$(-3;2),\ (3;2).$$
$$ \begin{cases} 2x^2+y=3,\\ x^2y-1=0. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$x^2=\dfrac{3-y}{2}.$$ Подставим во второе:
$$ \frac{3-y}{2}\,y-1=0 $$
$$ 3y-y^2-2=0 $$
$$ y^2-3y+2=0 $$
$$ (y-1)(y-2)=0 $$
Отсюда $$y=1$$ или $$y=2.$$
Если $$y=2,$$ то $$x^2=\dfrac12,$$ значит $$x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}.$$
Если $$y=1,$$ то $$x^2=1,$$ значит $$x=\pm1.$$
Ответ: $$\left(\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=12,\\ x^2+y^2=20. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x^2=32 $$
$$ x^2=16 $$
Тогда $$x=4$$ или $$x=-4.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2y^2=8 $$
$$ y^2=4 $$
Значит, $$y=2$$ или $$y=-2.$$
Подходящие пары:
$$ (4;2),\ (4;-2),\ (-4;2),\ (-4;-2). $$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=21,\\ x^2+y^2=29. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x^2=50 $$
$$ x^2=25 $$
Значит, $$x=5$$ или $$x=-5.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2y^2=8 $$
$$ y^2=4 $$
Значит, $$y=2$$ или $$y=-2.$$
Подходящие пары:
$$ (5;2),\ (5;-2),\ (-5;2),\ (-5;-2). $$