Упр.514 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 1,3x^2+5,7x+5,1=0;
2) 2,3x^2-30,1x+89=0;
3) x^2+19x-68=0;
4) x^2-23x-51=0.
Решить систему уравнений:
1) {(1/x+1/y=1
x+y=4)+
2) {((x+y)/(x-y)=3/2
xy=80 )+
3) {(x-y=3
1/x-1/y=-0,3)+
4) {(x+y=9
1/x+1/y=0,5)+

Подробный ответ

$$1{,}3x^2+5{,}7x+5{,}1=0$$
$$D=5{,}7^2-4\cdot1{,}3\cdot5{,}1=32{,}49-26{,}52=5{,}97,$$
$$\sqrt{D}\approx 2{,}44.$$
$$x_{1,2}=\frac{-5{,}7\pm2{,}44}{2\cdot1{,}3}=\frac{-5{,}7\pm2{,}44}{2{,}6}.$$
$$x_1\approx\frac{-5{,}7-2{,}44}{2{,}6}\approx-3{,}13,\qquad x_2\approx\frac{-5{,}7+2{,}44}{2{,}6}\approx-1{,}25.$$
$$2{,}3x^2-30{,}1x+89=0$$
$$D=30{,}1^2-4\cdot2{,}3\cdot89=906{,}01-818{,}8=87{,}21,$$
$$\sqrt{D}\approx 9{,}34.$$
$$x_{1,2}=\frac{30{,}1\pm9{,}34}{2\cdot2{,}3}=\frac{30{,}1\pm9{,}34}{4{,}6}.$$
$$x_1\approx\frac{30{,}1-9{,}34}{4{,}6}\approx4{,}51,\qquad x_2\approx\frac{30{,}1+9{,}34}{4{,}6}\approx8{,}57.$$
$$x^2+19x-68=0$$
$$D=19^2-4\cdot1\cdot(-68)=361+272=633,$$
$$\sqrt{633}\approx25{,}16.$$
$$x_{1,2}=\frac{-19\pm25{,}16}{2}.$$
$$x_1\approx\frac{-19-25{,}16}{2}\approx-22{,}08,\qquad x_2\approx\frac{-19+25{,}16}{2}\approx3{,}08.$$
$$x^2-23x-51=0$$
$$D=23^2-4\cdot1\cdot(-51)=529+204=733,$$
$$\sqrt{733}\approx27{,}07.$$
$$x_{1,2}=\frac{23\pm27{,}07}{2}.$$
$$x_1\approx\frac{23-27{,}07}{2}\approx-2{,}04,\qquad x_2\approx\frac{23+27{,}07}{2}\approx25{,}04.$$
$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1,\\ x+y=4 \end{cases}$$
$$\frac{x+y}{xy}=1 \Rightarrow x+y=xy.$$
Тогда
$$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=4 \end{cases}$$
По теореме, обратной теореме Виета, получаем:
$$x=2,\quad y=2.$$
$$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3}{2},\\ xy=80 \end{cases}$$
$$2(x+y)=3(x-y)\Rightarrow 2x+2y=3x-3y\Rightarrow x=5y.$$
Подставим в условие $$xy=80$$:
$$5y^2=80,\qquad y^2=16,\qquad y=\pm4.$$
Если $$y=4,$$ то $$x=20.$$ Если $$y=-4,$$ то $$x=-20.$$
$$\begin{cases} x-y=3,\\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-0{,}3 \end{cases}$$
$$\frac{y-x}{xy}=-0{,}3.$$
Так как $$x-y=3,$$ то $$y-x=-3,$$ значит
$$\frac{-3}{xy}=-0{,}3 \Rightarrow xy=10.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} x-y=3,\\ xy=10 \end{cases}$$
Пусть $$x=y+3.$$ Тогда
$$y(y+3)=10 \Rightarrow y^2+3y-10=0.$$
$$y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=0,$$
откуда $$y=-5$$ или $$y=2.$$
Тогда $$x=-2$$ или $$x=5.$$
$$\begin{cases} x+y=9,\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=0{,}5 \end{cases}$$
$$\frac{x+y}{xy}=0{,}5 \Rightarrow \frac{9}{xy}=0{,}5 \Rightarrow xy=18.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} x+y=9,\\ xy=18 \end{cases}$$
По теореме, обратной теореме Виета, получаем:
$$x=6,\quad y=3$$
или
$$x=3,\quad y=6.$$