Упр.513 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2-12x+20=0;
2) x^2+10x+24=0;
3) x^2+10x-24=0;
4) x^2-50x+49=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x^2+y^2=10
xy=3)+
2) {(x^2-xy+y^2=19
xy=15)+
3) {(x^2+4xy+y^2=94
xy=15)+
4) {(x^2-6xy+y^2=8
xy=7)+
Для квадратного уравнения $$x^2+2mx+c=0$$ дискриминант равен
$$D=(2m)^2-4c=4m^2-4c,$$
поэтому корни находятся по формуле
$$x_{1,2}=\frac{-2m\pm\sqrt{4m^2-4c}}{2}=-m\pm\sqrt{m^2-c}.$$
$$x^2-12x+20=0$$
$$x_{1,2}=6\pm\sqrt{36-20}=6\pm4.$$
$$x_1=2,\quad x_2=10.$$
$$x^2+10x+24=0$$
$$x_{1,2}=-5\pm\sqrt{25-24}=-5\pm1.$$
$$x_1=-6,\quad x_2=-4.$$
$$x^2+10x-24=0$$
$$x_{1,2}=-5\pm\sqrt{25+24}=-5\pm7.$$
$$x_1=-12,\quad x_2=2.$$
$$x^2-50x+49=0$$
$$x_{1,2}=25\pm\sqrt{625-49}=25\pm24.$$
$$x_1=1,\quad x_2=49.$$
$$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3 \end{cases}$$
Сложим уравнения после умножения второго на $2$:
$$x^2+2xy+y^2=16,$$
$$\left(x+y\right)^2=16.$$
Тогда $$x+y=4$$ или $$x+y=-4.$$
При $$x+y=4,\ xy=3$$ получаем пары $$x=3,\ y=1$$ и $$x=1,\ y=3.$$
При $$x+y=-4,\ xy=3$$ получаем пары $$x=-3,\ y=-1$$ и $$x=-1,\ y=-3.$$
$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=19,\\ xy=15 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $3$:
$$x^2+2xy+y^2=64,$$
$$\left(x+y\right)^2=64.$$
Тогда $$x+y=8$$ или $$x+y=-8.$$
При $$x+y=8,\ xy=15$$ получаем пары $$x=3,\ y=5$$ и $$x=5,\ y=3.$$
При $$x+y=-8,\ xy=15$$ получаем пары $$x=-3,\ y=-5$$ и $$x=-5,\ y=-3.$$
$$\begin{cases} x^2+4xy+y^2=94,\\ xy=15 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $2$:
$$x^2+2xy+y^2=64,$$
$$\left(x+y\right)^2=64.$$
Тогда $$x+y=8$$ или $$x+y=-8.$$
При $$x+y=8,\ xy=15$$ получаем пары $$x=3,\ y=5$$ и $$x=5,\ y=3.$$
При $$x+y=-8,\ xy=15$$ получаем пары $$x=-3,\ y=-5$$ и $$x=-5,\ y=-3.$$
$$\begin{cases} x^2-6xy+y^2=8,\\ xy=7 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $8$:
$$x^2+2xy+y^2=64,$$
$$\left(x+y\right)^2=64.$$
Тогда $$x+y=8$$ или $$x+y=-8.$$
При $$x+y=8,\ xy=7$$ получаем пары $$x=7,\ y=1$$ и $$x=1,\ y=7.$$
При $$x+y=-8,\ xy=7$$ получаем пары $$x=-1,\ y=-7$$ и $$x=-7,\ y=-1.$$
Ответ
1) $$x=2,\ 10$$; 2) $$x=-6,\ -4$$; 3) $$x=-12,\ 2$$; 4) $$x=1,\ 49$$; 5) $$(3;1),\ (1;3),\ (-3;-1),\ (-1;-3)$$; 6) $$(3;5),\ (5;3),\ (-3;-5),\ (-5;-3)$$; 7) $$(3;5),\ (5;3),\ (-3;-5),\ (-5;-3)$$; 8) $$(7;1),\ (1;7),\ (-1;-7),\ (-7;-1)$$.
