Упр.512 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2,5x^2-30,75x+93,8=0;
2) 1,2x^2+5,76x+6,324=0;
3) 17x^2-918x-125 307=0;
4) 13x^2-702x-82 251=0.
Решить систему уравнений:
1) {(2x-3y=1
2x^2-xy-3y^2=3)+
2) {(x^3+y^3=133
x+y=7 )+
3) {(2x^2-2xy+x=-9
2y-3x=1)+
4) {(x^2+6xy+8y^2=91
x+3y-10=0)+

Подробный ответ

$$2{,}5x^2-30{,}75x+93{,}8=0$$
$$D=30{,}75^2-4\cdot 2{,}5\cdot 93{,}8=945{,}5625-938=7{,}5625,$$
$$\sqrt{D}=2{,}75.$$
$$x_{1,2}=\frac{30{,}75\pm 2{,}75}{2\cdot 2{,}5}=\frac{30{,}75\pm 2{,}75}{5}.$$
$$x_1=\frac{28}{5}=5{,}6,\qquad x_2=\frac{33{,}5}{5}=6{,}7.$$
$$1{,}2x^2+5{,}76x+6{,}324=0$$
$$D=5{,}76^2-4\cdot 1{,}2\cdot 6{,}324=33{,}1776-30{,}3552=2{,}8224,$$
$$\sqrt{D}=1{,}68.$$
$$x_{1,2}=\frac{-5{,}76\pm 1{,}68}{2\cdot 1{,}2}=\frac{-5{,}76\pm 1{,}68}{2{,}4}.$$
$$x_1=\frac{-7{,}44}{2{,}4}=-3{,}1,\qquad x_2=\frac{-4{,}08}{2{,}4}=-1{,}7.$$
$$17x^2-918x-125307=0$$
$$D=918^2-4\cdot 17\cdot(-125307)=842724+8510804=9353528,$$
$$\sqrt{D}=3058.$$
$$x_{1,2}=\frac{918\pm 3058}{2\cdot 17}=\frac{918\pm 3058}{34}.$$
$$x_1=\frac{918-3058}{34}=-63,\qquad x_2=\frac{918+3058}{34}=117.$$
$$13x^2-702x-82251=0$$
$$D=702^2-4\cdot 13\cdot(-82251)=492804+427704=920508,$$
$$\sqrt{D}=959{,}43\ldots$$
По формуле корней:
$$x_{1,2}=\frac{702\pm \sqrt{920508}}{26}.$$

Решим системы.

$$\begin{cases} 2x-3y=1,\\ 2x^2-xy-3y^2=3 \end{cases}$$
Разложим второе уравнение на множители:
$$2x^2-xy-3y^2=2x^2+2xy-3xy-3y^2=(x+y)(2x-3y).$$
Тогда
$$\begin{cases} 2x-3y=1,\\ (x+y)(2x-3y)=3 \end{cases}$$
Подставим $$(2x-3y)=1$$:
$$x+y=3.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} x+y=3,\\ 2x-3y=1 \end{cases}$$
Получаем $$x=2,\ y=1.$$
$$\begin{cases} x^3+y^3=133,\\ x+y=7 \end{cases}$$
Используем формулу:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Тогда
$$7(x^2-xy+y^2)=133,$$
$$x^2-xy+y^2=19.$$
Положим $$x=7-y$$:
$$ (7-y)^2-y(7-y)+y^2=19,$$
$$49-14y+y^2-7y+y^2+y^2=19,$$
$$3y^2-21y+30=0,$$
$$y^2-7y+10=0,$$
$$ (y-2)(y-5)=0.$$
Значит, $$y=2$$ или $$y=5.$$ Тогда $$x=5$$ или $$x=2.$$
$$\begin{cases} 2x^2-2xy+x=-9,\\ 2y-3x=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2y=1+3x,$$
$$y=\frac{1+3x}{2}.$$
Подставим в первое:
$$2x^2-2x\cdot \frac{1+3x}{2}+x=-9,$$
$$2x^2-x(1+3x)+x+9=0,$$
$$2x^2-x-3x^2+x+9=0,$$
$$-x^2+9=0,$$
$$x^2=9,$$
$$x=\pm 3.$$
Если $$x=-3,$$ то $$2y=1-9=-8,$$ значит $$y=-4.$$
Если $$x=3,$$ то $$2y=1+9=10,$$ значит $$y=5.$$
$$\begin{cases} x^2+6xy+8y^2=91,\\ x+3y-10=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=10-3y.$$
Подставим в первое:
$$ (10-3y)^2+6y(10-3y)+8y^2=91,$$
$$100-60y+9y^2+60y-18y^2+8y^2=91,$$
$$-y^2+9=0,$$
$$y^2=9,$$
$$y=\pm 3.$$
Если $$y=-3,$$ то $$x=10-3(-3)=19.$$
Если $$y=3,$$ то $$x=10-9=1.$$