Упр.511 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 5x^2-8x-4=0;
2) 4x^2+4x-3=0;
3) 5x^2-26x+5=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x^2+y^2=34
xy=15)+
2) {(x^2+y^2=25
xy=12)+

Подробный ответ

$$5x^2-8x-4=0$$
По формуле корней квадратного уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 5\cdot(-4)}}{2\cdot 5}=\frac{8\pm\sqrt{64+80}}{10}=\frac{8\pm 12}{10}.$$
$$x_1=\frac{8-12}{10}=-0{,}4,\qquad x_2=\frac{8+12}{10}=2.$$
$$4x^2+4x-3=0$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{2\cdot 4}=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm 8}{8}.$$
$$x_1=-1{,}5,\qquad x_2=0{,}5.$$
$$5x^2-26x+5=0$$
$$x_{1,2}=\frac{26\pm\sqrt{(-26)^2-4\cdot 5\cdot 5}}{2\cdot 5}=\frac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}=\frac{26\pm 24}{10}.$$
$$x_1=0{,}2,\qquad x_2=5.$$
$$\begin{cases} x^2+y^2=34,\\ xy=15 \end{cases}$$
Сложим уравнения после умножения второго на $2$:
$$x^2+2xy+y^2=34+30=64,$$
$$\left(x+y\right)^2=64,$$
$$x+y=8 \quad \text{или} \quad x+y=-8.$$
1) Если $$x+y=8,$$ то вместе с $$xy=15$$ получаем числа $$3$$ и $$5.$$
2) Если $$x+y=-8,$$ то вместе с $$xy=15$$ получаем числа $$-3$$ и $$-5.$$
$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $2$:
$$x^2+2xy+y^2=25+24=49,$$
$$\left(x+y\right)^2=49,$$
$$x+y=7 \quad \text{или} \quad x+y=-7.$$
1) Если $$x+y=7,$$ то вместе с $$xy=12$$ получаем числа $$3$$ и $$4.$$
2) Если $$x+y=-7,$$ то вместе с $$xy=12$$ получаем числа $$-3$$ и $$-4.$$