Упр.510 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$q$$, при которых уравнение $$x^2-2x+q=0$$:
   1) имеет два различных корня;
   2) имеет один корень.
2. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}2x+3y=3\\4x^2-9y^2=27\end{cases}$$;
   2) $$\begin{cases}x-y=5\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{cases}$$.

1) Рассмотрим уравнение $$x^2-2x+q=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot q=4-4q.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно $$D>0$$:

$$4-4q>0,$$

$$q<1.$$

Чтобы уравнение имело один корень, нужно $$D=0$$:

$$4-4q=0,$$

$$q=1.$$

2) Решим систему

$$\begin{cases} 2x+3y=3,\\ 4x^2-9y^2=27. \end{cases}$$

Заметим, что

$$4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y).$$

Тогда из второго уравнения получаем:

$$(2x-3y)(2x+3y)=27.$$

Так как $$2x+3y=3,$$ то

$$3(2x-3y)=27,$$

$$2x-3y=9.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} 2x+3y=3,\\ 2x-3y=9. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$4x=12,$$

$$x=3.$$

Подставляем в первое уравнение:

$$2\cdot 3+3y=3,$$

$$3y=-3,$$

$$y=-1.$$

3) Решим систему

$$\begin{cases} x-y=5,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases}$$

Положим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}.$$ Тогда $$x=a^2,\ y=b^2,$$ и система примет вид:

$$\begin{cases} a^2-b^2=5,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Разложим разность квадратов:

$$(a-b)(a+b)=5.$$

Так как $$a-b=1,$$ то

$$a+b=5.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=5. \end{cases}$$

Складываем:

$$2a=6,$$

$$a=3.$$

Тогда

$$b=2.$$

Следовательно,

$$x=a^2=9,\qquad y=b^2=4.$$

Ответ

1) $$q<1$$; 2) $$q=1$$; $$\,(3;\,-1)$$; $$\,(9;\,4)$$.