Упр.51 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a+1)/(a^3-1) — 1/(a^2+a+1);
2) (a^2+4)/(a^3+8) — 1/(a+2);
3) (a+b)/(a^2-ab+b^2 ) — 1/(a+b);
4) (m^2-3m+9)/(m^3-27) — 1/(m-3).
Пусть a — положительное число и a<1. Доказать, что: 1) a^2 < a; 2) a^3 < a^2.

1. $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$
   
   Разложим разность кубов:
   $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).$$
   Тогда
   $$ \frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1} = \frac{a+1-(a-1)}{a^3-1} = \frac{2}{a^3-1}. $$

2. $$\frac{a^2+4}{a^3+8}-\frac{1}{a+2}$$
   
   Разложим сумму кубов:
   $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4).$$
   Тогда
   $$ \frac{a^2+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{1}{a+2} = \frac{a^2+4-(a^2-2a+4)}{a^3+8} = \frac{2a}{a^3+8}. $$

3. $$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\frac{1}{a+b}$$
   
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}. $$
   Числитель:
   $$ (a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+ab-b^2=3ab. $$
   Поэтому
   $$ \frac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\frac{1}{a+b}=\frac{3ab}{a^3+b^3}. $$

4. $$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27}-\frac{1}{m-3}$$
   
   Разложим разность кубов:
   $$m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9).$$
   Тогда
   $$ \frac{m^2-3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}-\frac{1}{m-3} = \frac{m^2-3m+9-(m^2+3m+9)}{m^3-27} = \frac{-6m}{m^3-27}. $$
   Следовательно,
   $$ \frac{-6m}{m^3-27}=\frac{6m}{27-m^3}. $$

Пусть $$a$$ — положительное число и $$a<1$$.

1. $$a^2<a$$
   
   Рассмотрим разность:
   $$ a^2-a=a(a-1). $$
   Так как $$a>0$$, а $$a-1<0$$, то
   $$a(a-1)<0.$$
   Значит,
   $$a^2<a.$$

2. $$a^3<a^2$$
   
   Рассмотрим разность:
   $$ a^3-a^2=a^2(a-1). $$
   Так как $$a^2>0$$ и $$a-1<0$$, то
   $$a^2(a-1)<0.$$
   Следовательно,
   $$a^3<a^2.$$

Ответ

1) $$\frac{2}{a^3-1}$$; 2) $$\frac{2a}{a^3+8}$$; 3) $$\frac{3ab}{a^3+b^3}$$; 4) $$\frac{6m}{27-m^3}$$.
$$a^2<a,\quad a^3<a^2.$$