Упр.509 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$ax^2+3x+2=0$$, где $$a\ne0$$:
   1) имеет два различных корня;
   2) не имеет корней;
   3) имеет один корень.
2. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}(x-1)(y-1)=2\\x+y=5\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}(x-2)(y+1)=1\\x-y=3\end{cases}$$

1) Рассмотрим уравнение $$ax^2+3x+2=0,\quad a\ne 0.$$

Его дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot a\cdot 2=9-8a.$$

Тогда:

• два различных корня, если $$D>0,$$ то есть $$9-8a>0,$$ откуда $$a<\frac{9}{8};$$
• корней нет, если $$D<0,$$ то есть $$9-8a<0,$$ откуда $$a>\frac{9}{8};$$
• один корень, если $$D=0,$$ то есть $$9-8a=0,$$ откуда $$a=\frac{9}{8}.$$

2) Решим систему

$$\begin{cases} (x-1)(y-1)=2,\\ x+y=5. \end{cases}$$

Раскроем скобки:

$$xy-x-y+1=2,$$

$$xy-(x+y)=1.$$

Так как $$x+y=5,$$ получаем:

$$xy-5=1,$$

$$xy=6.$$

Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$t^2-5t+6=0,$$ откуда

$$t=2 \text{ или } t=3.$$

Значит,

$$(x,y)=(2,3),\ (3,2).$$

3) Решим систему

$$\begin{cases} (x-2)(y+1)=1,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x=3+y.$$

Подставим в первое:

$$((3+y)-2)(y+1)=1,$$

$$(y+1)(y+1)=1,$$

$$(y+1)^2=1.$$

Тогда

$$y+1=1 \text{ или } y+1=-1,$$

откуда

$$y=0 \text{ или } y=-2.$$

Найдём $$x$$:

если $$y=0,$$ то $$x=3;$$

если $$y=-2,$$ то $$x=1.$$

Следовательно,

$$(x,y)=(3,0),\ (1,-2).$$

Ответ

1) $$a<\frac{9}{8}$$; 2) $$a>\frac{9}{8}$$; 3) $$a=\frac{9}{8}$$.

1) $$(2,3),\ (3,2).$$ 2) $$(3,0),\ (1,-2).$$