Упр.508 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\frac{x^2+3x}{2}=\frac{x+7}{4}$$;
2. $$\frac{x^2-3x}{7}+x=11$$;
3. $$\frac{2x^2+x}{3}-\frac{2-3x}{4}=\frac{x^2-6}{6}$$;
4. $$\frac{x^2+x}{4}-\frac{3-7x}{20}=0{,}3$$.

Решить систему уравнений:

1. $$\begin{cases}xy-x+y=7,\\xy+x-y=13;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}xy-2(x+y)=2,\\xy+x+y=29.\end{cases}$$

1. $$\frac{x^2+3x}{2}=\frac{x+7}{4}$$

   Умножим обе части на $$4$$:

   $$2(x^2+3x)=x+7$$

   $$2x^2+6x-x-7=0$$

   $$2x^2+5x-7=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81$$

   $$x=\frac{-5\pm 9}{2\cdot 2}$$

   $$x_1=\frac{-14}{4}=-3{,}5,\quad x_2=\frac{4}{4}=1$$

2. $$\frac{x^2-3x}{7}+x=11$$

   Умножим обе части на $$7$$:

   $$x^2-3x+7x-77=0$$

   $$x^2+4x-77=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-77)=16+308=324$$

   $$x=\frac{-4\pm 18}{2}$$

   $$x_1=\frac{-22}{2}=-11,\quad x_2=\frac{14}{2}=7$$

3. $$\frac{2x^2+x}{3}-\frac{2-3x}{4}=\frac{x^2-6}{6}$$

   Умножим обе части на $$12$$:

   $$4(2x^2+x)-3(2-3x)=2(x^2-6)$$

   $$8x^2+4x-6+9x=2x^2-12$$

   $$6x^2+13x+6=0$$

   $$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=169-144=25$$

   $$x=\frac{-13\pm 5}{2\cdot 6}$$

   $$x_1=\frac{-18}{12}=-1{,}5,\quad x_2=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}$$

4. $$\frac{x^2+x}{4}-\frac{3-7x}{20}=0{,}3$$

   Умножим обе части на $$20$$:

   $$5(x^2+x)-(3-7x)=6$$

   $$5x^2+5x-3+7x-6=0$$

   $$5x^2+12x-9=0$$

   $$D=12^2-4\cdot 5\cdot(-9)=144+180=324$$

   $$x=\frac{-12\pm 18}{2\cdot 5}$$

   $$x_1=\frac{-30}{10}=-3,\quad x_2=\frac{6}{10}=0{,}6$$

5. $$\begin{cases} xy-x+y=7,\\ xy+x-y=13 \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2xy=20$$

   $$xy=10$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2x-2y=6$$

   $$x-y=3$$

   Из $$x-y=3$$ получаем $$x=y+3$$. Подставим в $$xy=10$$:

   $$y(y+3)=10$$

   $$y^2+3y-10=0$$

   $$(y+5)(y-2)=0$$

   $$y=-5 \text{ или } y=2$$

   Тогда:

   при $$y=-5$$ имеем $$x=-2$$;

   при $$y=2$$ имеем $$x=5$$.

6. $$\begin{cases} xy-2(x+y)=2,\\ xy+x+y=29 \end{cases}$$

   Из второго уравнения вычтем первое:

   $$3x+3y=27$$

   $$x+y=9$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$xy-2\cdot 9=2$$

   $$xy=20$$

   Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

   $$t^2-9t+20=0$$

   $$(t-4)(t-5)=0$$

   $$t=4 \text{ или } t=5$$

   Значит,

   $$(x,y)=(5,4) \text{ или } (4,5)$$

Ответ

1) $$x=-3{,}5;\ 1$$

2) $$x=-11;\ 7$$

3) $$x=-1{,}5;\ -\frac{2}{3}$$

4) $$x=-3;\ 0{,}6$$

5) $$(-2;\,-5),\ (5;\,2)$$

6) $$(5;\,4),\ (4;\,5)$$