Упр.508 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2+3x)/2=(x+7)/4;
2) (x^2-3x)/7+x=11;
3) (2x^2+x)/3-(2-3x)/4=(x^2-6)/6;
4) (x^2+x)/4-(3-7x)/20=0,3.
Решить систему уравнений:
1) {(xy-x+y=7
xy+x-y=13)+
2) {(xy-2(x+y)=2
xy+x+y=29)+

Подробный ответ

$$\frac{x^2+3x}{2}=\frac{x+7}{4}$$
Умножим обе части на $4$:
$$2(x^2+3x)=x+7$$
$$2x^2+6x-x-7=0$$
$$2x^2+5x-7=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81$$
$$x=\frac{-5\pm 9}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac{-14}{4}=-3{,}5,\quad x_2=\frac{4}{4}=1$$
$$\frac{x^2-3x}{7}+x=11$$
Умножим обе части на $7$:
$$x^2-3x+7x-77=0$$
$$x^2+4x-77=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-77)=16+308=324$$
$$x=\frac{-4\pm 18}{2}$$
$$x_1=\frac{-22}{2}=-11,\quad x_2=\frac{14}{2}=7$$
$$\frac{2x^2+x}{3}-\frac{2-3x}{4}=\frac{x^2-6}{6}$$
Умножим обе части на $12$:
$$4(2x^2+x)-3(2-3x)=2(x^2-6)$$
$$8x^2+4x-6+9x=2x^2-12$$
$$6x^2+13x+6=0$$
$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=169-144=25$$
$$x=\frac{-13\pm 5}{2\cdot 6}$$
$$x_1=\frac{-18}{12}=-1{,}5,\quad x_2=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}$$
$$\frac{x^2+x}{4}-\frac{3-7x}{20}=0{,}3$$
Умножим обе части на $20$:
$$5(x^2+x)-(3-7x)=6$$
$$5x^2+5x-3+7x-6=0$$
$$5x^2+12x-9=0$$
$$D=12^2-4\cdot 5\cdot(-9)=144+180=324$$
$$x=\frac{-12\pm 18}{2\cdot 5}$$
$$x_1=\frac{-30}{10}=-3,\quad x_2=\frac{6}{10}=0{,}6$$
$$\begin{cases} xy-x+y=7,\\ xy+x-y=13 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2xy=20$$
$$xy=10$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2x-2y=6$$
$$x-y=3$$
Из $x-y=3$ получаем $x=y+3$. Подставим в $xy=10$:
$$y(y+3)=10$$
$$y^2+3y-10=0$$
$$ (y+5)(y-2)=0 $$
$$y=-5 \text{ или } y=2$$
Тогда:
при $y=-5$ имеем $x=-2$;
при $y=2$ имеем $x=5$.
$$\begin{cases} xy-2(x+y)=2,\\ xy+x+y=29 \end{cases}$$
Из второго уравнения вычтем первое:
$$3x+3y=27$$
$$x+y=9$$
Подставим в первое уравнение:
$$xy-2\cdot 9=2$$
$$xy=20$$
Тогда числа $x$ и $y$ — корни уравнения
$$t^2-9t+20=0$$
$$ (t-4)(t-5)=0 $$
$$t=4 \text{ или } t=5$$
Значит,
$$ (x,y)=(5,4) \text{ или } (4,5) $$