Упр.507 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 6x^2=5x+1;
2) 5x^2+1=6x;
3) x(x-1)=72;
4) x(x+1)=56;
5) 2x(x+2)=8x+3;
6) 3x(x-2)-1=x-0,5(8+x^2 ).
Расстояние от A до B по течению реки катер проходит в 1,5 раза медленнее, чем теплоход, причем за каждый час катер отстает от теплохода на 8 км. Против течения реки путь от B до A теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найти скорости теплохода и катера в стоячей воде.

1. $$6x^2=5x+1$$
   $$6x^2-5x-1=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{12}$$
   $$x_1=-\frac16,\quad x_2=1$$
2. $$5x^2+1=6x$$
   $$5x^2-6x+1=0$$
   $$D=36-20=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}$$
   $$x_1=\frac15,\quad x_2=1$$
3. $$x(x-1)=72$$
   $$x^2-x-72=0$$
   $$D=1+288=289$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 17}{2}$$
   $$x_1=-8,\quad x_2=9$$
4. $$x(x+1)=56$$
   $$x^2+x-56=0$$
   $$D=1+224=225$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}$$
   $$x_1=-8,\quad x_2=7$$
5. $$2x(x+2)=8x+3$$
   $$2x^2+4x-8x-3=0$$
   $$2x^2-4x-3=0$$
   $$D=16+24=40$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{40}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}$$
6. $$3x(x-2)-1=x-0{,}5(8+x^2)$$
   $$3x^2-6x-1=x-4-0{,}5x^2$$
   $$3{,}5x^2-7x+3=0$$
   $$7x^2-14x+6=0$$
   $$D=196-168=28$$
   $$x_{1,2}=\frac{14\pm \sqrt{28}}{14}=\frac{7\pm \sqrt7}{7}$$
7. Пусть скорость катера в стоячей воде равна $$v$$ км/ч, а скорость теплохода — $$u$$ км/ч. Тогда по течению:
   $$\frac{1}{v}=\frac{1{,}5}{u}$$
   значит,
   $$u=1{,}5v$$
   По условию теплоход против течения идёт в 2 раза быстрее катера, то есть
   $$u-c=2(v-c)$$
   где $$c$$ — скорость течения. Кроме того, по течению теплоход за 1 час проходит на 8 км больше катера:
   $$u+c=v+c+8$$
   Из условия «катер по течению в 1,5 раза медленнее теплохода» получаем
   $$u=1{,}5v$$
   Тогда
   $$1{,}5v+c=v+c+8$$
   $$0{,}5v=8$$
   $$v=16$$
   Следовательно,
   $$u=1{,}5\cdot 16=24$$
   Найдём скорость течения:
   $$24-c=2(16-c)$$
   $$24-c=32-2c$$
   $$c=8$$
   Тогда собственные скорости:
   $$16-8=8$$
   $$24-8=16$$
   Но по условию требуется найти скорости теплохода и катера в стоячей воде, значит:
   $$v=8,\quad u=16$$

Ответ

1) $$x=-\frac16,\ 1$$;
2) $$x=\frac15,\ 1$$;
3) $$x=-8,\ 9$$;
4) $$x=-8,\ 7$$;
5) $$x=\frac{2-\sqrt{10}}{2},\ \frac{2+\sqrt{10}}{2}$$;
6) $$x=\frac{7-\sqrt7}{7},\ \frac{7+\sqrt7}{7}$$;
7) $$8\text{ км/ч и }16\text{ км/ч}$$.