Упр.505 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет: 1) $$2x^2+5x-7=0$$; 2) $$3x^2-7x-8=0$$; 3) $$4x^2+4x+1=0$$; 4) $$9x^2-6x+2=0$$.
2. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число.

1. Для квадратного уравнения число корней определяем по дискриминанту $$D=b^2-4ac$$.

   1) $$2x^2+5x-7=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81>0$$

   Значит, уравнение имеет два корня.

2. 2) $$3x^2-7x-8=0$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=49+96=145>0$$

   Значит, уравнение имеет два корня.

3. 3) $$4x^2+4x+1=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0$$

   Значит, уравнение имеет один корень.

4. 4) $$9x^2-6x+2=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot 2=36-72=-36<0$$

   Значит, корней нет.

Теперь найдём двузначное число. Пусть оно равно $$10a+b$$, где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию:

$$10a+b=6(a+b)+4$$

$$10a+b=2ab+16$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 10a+b=6a+6b+4,\\ 10a+b=2ab+16. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$4a-5b=4$$

$$a=\dfrac{4+5b}{4}$$

Подставим во второе уравнение:

$$10\cdot \dfrac{4+5b}{4}+b=2b\cdot \dfrac{4+5b}{4}+16$$

Умножим на 4:

$$10(4+5b)+4b=2b(4+5b)+64$$

$$40+50b+4b=8b+10b^2+64$$

$$10b^2-46b+24=0$$

$$5b^2-23b+12=0$$

$$D=23^2-4\cdot 5\cdot 12=529-240=289$$

$$\sqrt{289}=17$$

$$b=\dfrac{23\pm 17}{10}$$

$$b_1=\dfrac{6}{10}=0{,}6$$ — не подходит,

$$b_2=\dfrac{40}{10}=4$$

Тогда

$$a=\dfrac{4+5\cdot 4}{4}=\dfrac{24}{4}=6$$

Искомое число: $$64$$.

Ответ

1) два корня; 2) два корня; 3) один корень; 4) корней нет; $$64$$.