Упр.503 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 9x^2-6x+1=0;
2) 16x^2-8x+1=0;
3) 49x^2+28x+4=0;
4) 36x^2+12x+1=0.
Решить систему уравнений:
1) {(vx+vy=8
x-y=16)+
2) {(vx-vy=1
x-y=5)+

1) $$9x^2-6x+1=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0.$$

Тогда

$$x=\frac{-(-6)}{2\cdot 9}=\frac{6}{18}=\frac13.$$

Ответ: $$x=\frac13.$$

2) $$16x^2-8x+1=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot 1=64-64=0.$$

$$x=\frac{-(-8)}{2\cdot 16}=\frac{8}{32}=\frac14.$$

Ответ: $$x=\frac14.$$

3) $$49x^2+28x+4=0$$

$$D=28^2-4\cdot 49\cdot 4=784-784=0.$$

$$x=\frac{-28}{2\cdot 49}=\frac{-28}{98}=-\frac27.$$

Ответ: $$x=-\frac27.$$

4) $$36x^2+12x+1=0$$

$$D=12^2-4\cdot 36\cdot 1=144-144=0.$$

$$x=\frac{-12}{2\cdot 36}=\frac{-12}{72}=-\frac16.$$

Ответ: $$x=-\frac16.$$

5) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=8 \\ x-y=16\end{cases}$$

Положим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}$$, тогда $$a+b=8$$ и

$$x-y=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=16.$$

Так как $$a+b=8$$, получаем

$$8(a-b)=16,\quad a-b=2.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases}a+b=8 \\ a-b=2\end{cases}$$

$$a=5,\quad b=3.$$

Тогда

$$x=25,\quad y=9.$$

Ответ: $$(25;\,9).$$

6) $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 \\ x-y=5\end{cases}$$

Положим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}$$, тогда $$a-b=1$$ и

$$x-y=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=5.$$

Следовательно,

$$1\cdot (a+b)=5,\quad a+b=5.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases}a-b=1 \\ a+b=5\end{cases}$$

$$a=3,\quad b=2.$$

Тогда

$$x=9,\quad y=4.$$

Ответ: $$(9;\,4).$$

Ответ

1) $$x=\frac13$$; 2) $$x=\frac14$$; 3) $$x=-\frac27$$; 4) $$x=-\frac16$$; 5) $$(25;\,9)$$; 6) $$(9;\,4)$$.