Упр.502 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) 2x^2+5x-3;
2) 2x^2-7x-4;
3) 3x^2+x-4;
4) 3x^2+2x-1;
5) x^2+4x-3;
6) 3x^2+12x+10;
7) -2x^2+x+1;
8) -3x^2-x+4.
Решить систему уравнений:
1) {(x+xy+y=-1
x-xy+y=3)+
2) {(x-xy-y=-7
x+xy-y=1)+
3) {(x^2-y+2=0
x^2+y^2-4=0)+
4) {(x^2-3xy+y^2=11
xy=5)+
$$2x^2+5x-3=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\quad x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12$$
$$2x^2-7x-4=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}$$
$$x_1=\frac{7-9}{4}=-\frac12,\quad x_2=\frac{7+9}{4}=4$$
$$3x^2+x-4=0$$
$$D=1-4\cdot 3\cdot(-4)=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}$$
$$x_1=\frac{-1-7}{6}=-\frac43,\quad x_2=\frac{-1+7}{6}=1$$
$$3x^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}$$
$$x_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\quad x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13$$
$$x^2+4x-3=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16+12=28$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{28}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt7}{2}=-2\pm \sqrt7$$
$$3x^2+12x+10=0$$
$$D=12^2-4\cdot 3\cdot 10=144-120=24$$
$$x_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{24}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{-6\pm \sqrt6}{3}$$
$$-2x^2+x+1=0$$
$$2x^2-x-1=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac12$$
$$-3x^2-x+4=0$$
$$3x^2+x-4=0$$
$$D=1-4\cdot 3\cdot(-4)=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}$$
$$x_1=-\frac43,\quad x_2=1$$
$$\begin{cases} x+xy+y=-1 \\ x-xy+y=3 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x+2y=2 \Rightarrow x+y=1$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$-2xy=4 \Rightarrow xy=-2$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-t-2=0$$
$$t_1=2,\quad t_2=-1$$
Следовательно,
$$ (x,y)=(2,-1),\;(-1,2) $$
$$\begin{cases} x-xy-y=-7 \\ x+xy-y=1 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x-2y=-6 \Rightarrow x-y=-3$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2xy=8 \Rightarrow xy=4$$
Тогда
$$x=y-3,\quad (y-3)y=4$$
$$y^2-3y-4=0$$
$$y_1=4,\quad y_2=-1$$
Тогда
$$x=1 \text{ при } y=4,\quad x=-4 \text{ при } y=-1$$
$$ (x,y)=(1,4),\;(-4,-1) $$
$$\begin{cases} x^2-y+2=0 \\ x^2+y^2-4=0 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2=y-2$$
Подставим во второе:
$$y-2+y^2-4=0$$
$$y^2+y-6=0$$
$$y_1=-3,\quad y_2=2$$
При $$y=-3$$ получаем $$x^2=-5$$, действительных решений нет.
При $$y=2$$:
$$x^2=0 \Rightarrow x=0$$
$$ (x,y)=(0,2) $$
$$\begin{cases} x^2-3xy+y^2=11 \\ xy=5 \end{cases}$$
Подставим $$xy=5$$ в первое уравнение:
$$x^2-15+y^2=11$$
$$x^2+y^2=26$$
Пусть $$t=y^2$$. Тогда из $$x=\frac{5}{y}$$ получаем:
$$\left(\frac{5}{y}\right)^2+y^2=26$$
$$\frac{25}{y^2}+y^2=26$$
$$25+y^4=26y^2$$
$$y^4-26y^2+25=0$$
$$t^2-26t+25=0$$
$$t_1=25,\quad t_2=1$$
Значит,
$$y=\pm 5,\quad y=\pm 1$$
Из условия $$xy=5$$ получаем пары:
$$(-1,-5),\ (1,5),\ (-5,-1),\ (5,1)$$
Ответ
1) $$x=-3,\ \frac12$$;
2) $$x=-\frac12,\ 4$$;
3) $$x=-\frac43,\ 1$$;
4) $$x=-1,\ \frac13$$;
5) $$x=-2\pm \sqrt7$$;
6) $$x=\frac{-6\pm \sqrt6}{3}$$;
7) $$x=1,\ -\frac12$$;
8) $$x=-\frac43,\ 1$$.
Системы:
1) $$(2,-1),\ (-1,2)$$;
2) $$(1,4),\ (-4,-1)$$;
3) $$(0,2)$$;
4) $$(-1,-5),\ (1,5),\ (-5,-1),\ (5,1)$$.
