Упр.501 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) 2x^2+3x+1=0;
2) 2x^2-3x+1=0;
3) 2x^2+5x+2=0;
4) 2x^2-7x+3=0;
5) 3x^2+11x+6=0;
6) 4x^2-11x+6=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x-y=2
xy=3)+
2) {(x-y=3
xy=4)+
3) {(2x^2-y^2=46
xy=10)+
4) {((x-y)^2=4
x+y=6)+
5) {(x^2-y^2=0
4+xy=0)+
6) {(x+y=4
1/x+1/y=1)+
$$2x^2+3x+1=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2\cdot 2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=-\frac12$$
$$2x^2-3x+1=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=1$$
$$2x^2+5x+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2\cdot 2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=-\frac12$$
$$2x^2-7x+3=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=25$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=3$$
$$3x^2+11x+6=0$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 6=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 7}{2\cdot 3}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=-\frac23$$
$$4x^2-11x+6=0$$
$$D=(-11)^2-4\cdot 4\cdot 6=25$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{2\cdot 4}$$
$$x_1=\frac34,\quad x_2=2$$
$$\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=y+2$$. Подставим во второе:
$$y(y+2)=3$$
$$y^2+2y-3=0$$
$$y_1=-3,\quad y_2=1$$
Тогда:
$$\begin{cases}y=-3\\x=-1\end{cases}\qquad \begin{cases}y=1\\x=3\end{cases}$$
$$\begin{cases}x-y=3\\xy=4\end{cases}$$
$$x=y+3$$
$$y(y+3)=4$$
$$y^2+3y-4=0$$
$$y_1=-4,\quad y_2=1$$
Тогда:
$$\begin{cases}y=-4\\x=-1\end{cases}\qquad \begin{cases}y=1\\x=4\end{cases}$$
$$\begin{cases}2x^2-y^2=46\\xy=10\end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=\frac{10}{y}$$. Подставим в первое:
$$2\left(\frac{10}{y}\right)^2-y^2=46$$
$$\frac{200}{y^2}-y^2=46$$
$$200-y^4=46y^2$$
$$y^4+46y^2-200=0$$
Пусть $$t=y^2$$. Тогда:
$$t^2+46t-200=0$$
$$D=46^2+4\cdot 200=2916$$
$$t_{1,2}=\frac{-46\pm 54}{2}$$
$$t_1=-50 \text{ не подходит},\quad t_2=4$$
Значит, $$y^2=4$$, откуда $$y=\pm 2$$.
Если $$y=2$$, то $$x=5$$; если $$y=-2$$, то $$x=-5$$.
$$\begin{cases}(x-y)^2=4\\x+y=6\end{cases}$$
Так как $$x-y=2$$ или $$x-y=-2$$, получаем две системы:
$$\begin{cases}x-y=2\\x+y=6\end{cases}\qquad \begin{cases}x-y=-2\\x+y=6\end{cases}$$
Из них:
$$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}\qquad \begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$$
$$\begin{cases}x^2-y^2=0\\4+xy=0\end{cases}$$
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0$$
Значит, $$x=y$$ или $$x=-y$$. Из второго уравнения $$xy=-4$$.
Если $$x=y$$, то $$x^2=-4$$ — действительных решений нет.
Если $$x=-y$$, то $$-x^2=-4$$, значит $$x^2=4$$ и $$x=\pm 2$$.
Тогда получаем пары:
$$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}\qquad \begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}$$
$$\begin{cases}x+y=4\\\frac1x+\frac1y=1\end{cases}$$
Так как $$\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}$$, то
$$\frac{4}{xy}=1$$
$$xy=4$$
Получаем систему:
$$\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}$$
Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-4t+4=0$$
$$t=2$$
Следовательно, $$x=2,\ y=2$$.
Ответ
1) $$x=-1,\ -\frac12$$;
2) $$x=\frac12,\ 1$$;
3) $$x=-2,\ -\frac12$$;
4) $$x=\frac12,\ 3$$;
5) $$x=-3,\ -\frac23$$;
6) $$x=\frac34,\ 2$$;
7) $$(-1;\,-3),\ (3;\,1)$$;
8) $$(-1;\,-4),\ (4;\,1)$$;
9) $$(-5;\,-2),\ (5;\,2)$$;
10) $$(4;\,2),\ (2;\,4)$$;
11) $$(2;\,-2),\ (-2;\,2)$$;
12) $$(2;\,2)$$.
