Упр.500 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти значение выражения $$\sqrt{b^2-4ac}$$ при: 1) $$a=3,\ b=1,\ c=-4$$; 2) $$a=3,\ b=-0{,}2,\ c=-0{,}01$$; 3) $$a=7,\ b=-6,\ c=-45$$; 4) $$a=-1,\ b=5,\ c=1800$$.
2. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x=2y-3,\\y^2-2x=3;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x+y=6,\\xy=-7;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x^2-y^2=21,\\x+y=7.\end{cases}$$

1) Вычислим значение выражения $$\sqrt{b^2-4ac}$$:

$$\sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot(-4)}=\sqrt{1+48}=\sqrt{49}=7$$

$$\sqrt{(-0,2)^2-4\cdot 3\cdot(-0,01)}=\sqrt{0,04+0,12}=\sqrt{0,16}=0,4$$

$$\sqrt{(-6)^2-4\cdot 7\cdot(-45)}=\sqrt{36+1260}=\sqrt{1296}=36$$

$$\sqrt{5^2-4\cdot(-1)\cdot 1800}=\sqrt{25+7200}=\sqrt{7225}=85$$

2) Решим системы уравнений.

$$\begin{cases} x=2y-3 \\ y^2-2x=3 \end{cases}$$

Подставим $$x=2y-3$$ во второе уравнение:

$$y^2-2(2y-3)=3$$

$$y^2-4y+6-3=0$$

$$y^2-4y+3=0$$

$$(y-1)(y-3)=0$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=3$$.

Если $$y=1$$, то $$x=2\cdot 1-3=-1$$.

Если $$y=3$$, то $$x=2\cdot 3-3=3$$.

Получаем решения: $$(-1;1)$$ и $$(3;3)$$.

$$\begin{cases} x+y=6 \\ xy=-7 \end{cases}$$

По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-6t-7=0$$

$$(t-7)(t+1)=0$$

Значит, $$t=7$$ или $$t=-1$$. Тогда пары чисел:

$$(7;-1),\;(-1;7)$$

$$\begin{cases} x^2-y^2=21 \\ x+y=7 \end{cases}$$

Разложим разность квадратов:

$$(x-y)(x+y)=21$$

Так как $$x+y=7$$, то

$$7(x-y)=21$$

$$x-y=3$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x-y=3 \\ x+y=7 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=10,\quad x=5$$

Тогда $$y=7-5=2$$.

Ответ

1) $$7$$; $$0,4$$; $$36$$; $$85$$.

2) $$(-1;1)$$, $$(3;3)$$; $$(7;-1)$$, $$(-1;7)$$; $$(5;2)$$.