Упр.499 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2x^2+3x-5=0;
2) 5x^2-7x-6=0.
Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. Найти эти числа.

1) Решим уравнение $$2x^2+3x-5=0.$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x^2+\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}=0.$$

Дополняем до квадрата:

$$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^2=\frac{49}{16}.$$

Тогда

$$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4} \quad \text{или} \quad x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}.$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{5}{2}.$$

2) Решим уравнение $$5x^2-7x-6=0.$$

Разделим обе части на $$5$$:

$$x^2-\frac{7}{5}x-\frac{6}{5}=0.$$

Дополняем до квадрата:

$$x^2-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{6}{5}+\frac{49}{100}$$

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^2=\frac{169}{100}.$$

Тогда

$$x-\frac{7}{10}=\frac{13}{10} \quad \text{или} \quad x-\frac{7}{10}=-\frac{13}{10}.$$

Отсюда

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-\frac{3}{5}.$$

3) Пусть даны два числа $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$\frac{x+y}{2}=20,\qquad \sqrt{xy}=12.$$

Получаем систему:

$$x+y=40,\qquad xy=144.$$

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-40t+144=0.$$

Найдём корни:

$$D=40^2-4\cdot144=1600-576=1024,$$

$$t=\frac{40\pm 32}{2}.$$

Следовательно,

$$t_1=36,\qquad t_2=4.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{5}{2},\ 1.$$
2) $$x=-\frac{3}{5},\ 2.$$
3) $$36$$ и $$4$$.