Упр.498 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^2-5x+4=0;
2) x^2-3x-10=0.
Сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найти эти числа.

1. Решим уравнение $$x^2-5x+4=0$$.

   Разложим левую часть на множители:

   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x-4)=0 \\ x-1=0 \text{ или } x-4=0 $$

   Следовательно, $$x=1$$ или $$x=4$$.

2. Решим уравнение $$x^2-3x-10=0$$.

   Разложим на множители:

   $$x^2-3x-10=(x-5)(x+2).$$

   Тогда

   $$ (x-5)(x+2)=0 \\ x-5=0 \text{ или } x+2=0 $$

   Следовательно, $$x=5$$ или $$x=-2$$.

3. Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда составим систему:

   $$ \begin{cases} x+y=18, \\ xy=65. \end{cases} $$

   По теореме, обратной теореме Виета, числа являются корнями уравнения

   $$t^2-18t+65=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2-18t+65=(t-5)(t-13).$$

   Значит, искомые числа: $$5$$ и $$13$$.

Ответ

1) $$x=1,\; x=4$$; 2) $$x=-2,\; x=5$$; 3) $$5$$ и $$13$$.