Упр.494 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-9)/(x-3)=0;
2) (2x+x^2)/(x+2)=0.
Решить систему уравнений:
1) {(x^2+xy=2
y-3x=7)+
2) {(x^2-xy-y^2=19
x-y=7)+
3) {(x+y=1
x^2+y^2=5)+
4) {(x^2+y^2=17
x-y=3)+

Подробный ответ

$$\frac{x^2-9}{x-3}=0, \quad x\ne 3$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=-3,\; x=3$$
Значение $$x=3$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Поэтому
$$x=-3$$
$$\frac{2x+x^2}{x+2}=0, \quad x\ne -2$$
Тогда числитель должен быть равен нулю:
$$2x+x^2=0$$
$$x(2+x)=0$$
$$x=0,\; x=-2$$
Значение $$x=-2$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Поэтому
$$x=0$$
$$\begin{cases} x^2+xy=2,\\ y-3x=7 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=7+3x$$
Подставим в первое:
$$x^2+x(7+3x)=2$$
$$4x^2+7x-2=0$$
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot(-2)=81$$
$$x_1=\frac{-7-9}{8}=-2,\quad x_2=\frac{-7+9}{8}=\frac14$$
Если $$x=-2$$, то $$y=7+3(-2)=1$$.
Если $$x=\frac14$$, то $$y=7+\frac34=\frac{31}{4}$$.
Ответ: $$(-2;1),\left(\frac14;\frac{31}{4}\right)$$.
$$\begin{cases} x^2-xy-y^2=19,\\ x-y=7 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=7+y$$
Подставим в первое:
$$ (7+y)^2-y(7+y)-y^2=19 $$
$$49+14y+y^2-7y-y^2-y^2=19$$
$$y^2-7y-30=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)=169$$
$$y_1=\frac{7-13}{2}=-3,\quad y_2=\frac{7+13}{2}=10$$
Если $$y=-3$$, то $$x=7+(-3)=4$$.
Если $$y=10$$, то $$x=7+10=17$$.
Ответ: $$(4;-3),(17;10)$$.
$$\begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=1-y$$
Подставим во второе:
$$ (1-y)^2+y^2=5 $$
$$1-2y+y^2+y^2=5$$
$$2y^2-2y-4=0$$
$$y^2-y-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2$$
Если $$y=-1$$, то $$x=1-(-1)=2$$.
Если $$y=2$$, то $$x=1-2=-1$$.
Ответ: $$(2;-1),(-1;2)$$.
$$\begin{cases} x^2+y^2=17,\\ x-y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=3+y$$
Подставим в первое:
$$ (3+y)^2+y^2=17 $$
$$9+6y+y^2+y^2=17$$
$$2y^2+6y-8=0$$
$$y^2+3y-4=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-3+5}{2}=1$$
Если $$y=-4$$, то $$x=3+(-4)=-1$$.
Если $$y=1$$, то $$x=3+1=4$$.
Ответ: $$(-1;-4),(4;1)$$.