Упр.467 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Сравнить $$\sqrt{a+b}$$ и $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$, где $$a\geqslant0$$ и $$b\geqslant0$$.
- С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближёнными значениями корней уравнения:
1) $$x^2+2x-1=0$$;
2) $$x^2-2x-2=0$$;
3) $$x^2+1{,}8x-28{,}35=0$$;
4) $$x^2-39x-1026=0$$.
1) Сравним числа $$\sqrt{a+b}$$ и $$\sqrt a+\sqrt b$$, где $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$.
Оба числа неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$$(\sqrt{a+b})^2=a+b,$$
$$(\sqrt a+\sqrt b)^2=a+2\sqrt{ab}+b.$$
Тогда
$$(\sqrt a+\sqrt b)^2-(\sqrt{a+b})^2=2\sqrt{ab}\ge 0.$$
Значит,
$$\sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b.$$
2) Решим уравнения и проверим, являются ли найденные корни точными.
$$x^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8,\qquad \sqrt D=2\sqrt2.$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 2\sqrt2}{2}=-1\pm \sqrt2.$$
Приближённо:
$$x_1\approx -2{,}414,\qquad x_2\approx 0{,}414.$$Проверка по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-2,\qquad x_1x_2=-1.$$
Полученные значения являются приближёнными.
$$x^2-2x-2=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,\qquad \sqrt D=2\sqrt3.$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt3}{2}=1\pm \sqrt3.$$
Приближённо:
$$x_1\approx -0{,}732,\qquad x_2\approx 2{,}732.$$Проверка по теореме Виета:
$$x_1+x_2=2,\qquad x_1x_2=-2.$$
Полученные значения являются приближёнными.
$$x^2+1{,}8x-28{,}35=0$$
$$D=1{,}8^2-4\cdot 1\cdot(-28{,}35)=116{,}64,\qquad \sqrt D=10{,}8.$$
$$x_{1,2}=\frac{-1{,}8\pm 10{,}8}{2}.$$
$$x_1=-6{,}3,\qquad x_2=4{,}5.$$
Проверка по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-1{,}8,\qquad x_1x_2=-28{,}35.$$
Корни являются точными.
$$x^2-39x-1026=0$$
$$D=(-39)^2-4\cdot 1\cdot(-1026)=5625,\qquad \sqrt D=75.$$
$$x_{1,2}=\frac{39\pm 75}{2}.$$
$$x_1=-18,\qquad x_2=57.$$
Проверка по теореме Виета:
$$x_1+x_2=39,\qquad x_1x_2=-1026.$$
Корни являются точными.
Ответ
$$\sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b.$$
1) $$x\approx -2{,}414$$, $$x\approx 0{,}414$$ — приближённые корни.
2) $$x\approx -0{,}732$$, $$x\approx 2{,}732$$ — приближённые корни.
3) $$x=-6{,}3$$, $$x=4{,}5$$ — точные корни.
4) $$x=-18$$, $$x=57$$ — точные корни.
