Упр.467 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближенными значениями корней уравнения:
1) x^2+2x-1=0;
2) x^2-2x-2=0;
3) x^2+1,8x-28,35=0;
4) x^2-39x-1026=0.
1) Сравним числа $$\sqrt{a+b}$$ и $$\sqrt a+\sqrt b$$, где $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$.
Оба числа неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$$ (\sqrt{a+b})^2=a+b, $$
$$ (\sqrt a+\sqrt b)^2=a+2\sqrt{ab}+b. $$
Тогда
$$ (\sqrt a+\sqrt b)^2-(\sqrt{a+b})^2=2\sqrt{ab}\ge 0. $$
Значит,
$$ \sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b. $$
2) Решим уравнения и проверим, являются ли найденные корни точными.
$$ x^2+2x-1=0 $$
$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8,\qquad \sqrt D=2\sqrt2. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-2\pm 2\sqrt2}{2}=-1\pm \sqrt2. $$
Приближённо:
$$ x_1\approx -2{,}414,\qquad x_2\approx 0{,}414. $$Проверка по теореме Виета:
$$ x_1+x_2=-2,\qquad x_1x_2=-1. $$
Полученные значения являются приближёнными.
$$ x^2-2x-2=0 $$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,\qquad \sqrt D=2\sqrt3. $$
$$ x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt3}{2}=1\pm \sqrt3. $$
Приближённо:
$$ x_1\approx -0{,}732,\qquad x_2\approx 2{,}732. $$Проверка по теореме Виета:
$$ x_1+x_2=2,\qquad x_1x_2=-2. $$
Полученные значения являются приближёнными.
$$ x^2+1{,}8x-28{,}35=0 $$
$$ D=1{,}8^2-4\cdot 1\cdot(-28{,}35)=116{,}64,\qquad \sqrt D=10{,}8. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-1{,}8\pm 10{,}8}{2}. $$
$$ x_1=-6{,}3,\qquad x_2=4{,}5. $$
Проверка по теореме Виета:
$$ x_1+x_2=-1{,}8,\qquad x_1x_2=-28{,}35. $$
Корни являются точными.
$$ x^2-39x-1026=0 $$
$$ D=(-39)^2-4\cdot 1\cdot(-1026)=5625,\qquad \sqrt D=75. $$
$$ x_{1,2}=\frac{39\pm 75}{2}. $$
$$ x_1=-18,\qquad x_2=57. $$
Проверка по теореме Виета:
$$ x_1+x_2=39,\qquad x_1x_2=-1026. $$
Корни являются точными.
Ответ
$$ \sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b. $$
1) $$x\approx -2{,}414$$, $$x\approx 0{,}414$$ — приближённые корни.
2) $$x\approx -0{,}732$$, $$x\approx 2{,}732$$ — приближённые корни.
3) $$x=-6{,}3$$, $$x=4{,}5$$ — точные корни.
4) $$x=-18$$, $$x=57$$ — точные корни.
