Упр.465 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Корни x_1 и x_2 квадратного уравнения x^2+px+3=0 удовлетворяет условию x_2=3x_1. Найти p, x_1, x_2.

Докажем неравенство

$$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

Если $$a+b<0,$$ то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, значит неравенство верно.

Пусть теперь $$a+b\ge 0.$$ Тогда обе части неотрицательны, и можно возвести неравенство в квадрат:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2.$$

Получаем

$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Умножим на $$4$$:

$$a^2+2ab+b^2\le 2a^2+2b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно для любых $$a$$ и $$b$$.

Теперь решим задачу с корнями уравнения $$x^2+px+3=0.$$ Пусть корни равны $$x_1$$ и $$x_2,$$ причём $$x_2=3x_1.$$ По теореме Виета:

$$x_1x_2=3,\qquad x_1+x_2=-p.$$

Подставим $$x_2=3x_1$$ в произведение:

$$x_1\cdot 3x_1=3,$$

$$3x_1^2=3,$$

$$x_1^2=1,$$

$$x_1=\pm 1.$$

Тогда

$$x_2=3x_1=\pm 3.$$

1) Если $$x_1=1,$$ то $$x_2=3,$$ и

$$1+3=-p,$$

$$p=-4.$$

2) Если $$x_1=-1,$$ то $$x_2=-3,$$ и

$$-1+(-3)=-p,$$

$$p=4.$$

Ответ

$$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$ для любых $$a$$ и $$b$$.

$$x_1=1,\ x_2=3,\ p=-4$$ или $$x_1=-1,\ x_2=-3,\ p=4.$$