Упр.464 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$$.
2. Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ квадратного уравнения $$x^2+6x+q=0$$ удовлетворяют условию $$x_2=2x_1$$. Найти $$q$$, $$x_1$$, $$x_2$$.

1) Докажем неравенство:

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$$

Преобразуем левую часть:

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =(a+b)\cdot \frac{a+b}{ab} =\frac{(a+b)^2}{ab}$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2}{ab}-4 =\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} =\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$ab>0$$, а значит неравенство верно.

2) Найдём $$q$$, $$x_1$$ и $$x_2$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+6x+q=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-6,\qquad x_1x_2=q.$$

По условию $$x_2=2x_1$$. Тогда

$$x_1+2x_1=-6$$

$$3x_1=-6$$

$$x_1=-2.$$

Следовательно,

$$x_2=2\cdot(-2)=-4.$$

Теперь найдём $$q$$:

$$q=x_1x_2=(-2)\cdot(-4)=8.$$

Ответ

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4; \qquad x_1=-2,\ x_2=-4,\ q=8.$$