Упр.464 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Корни x_1 и x_2 квадратного уравнения x^2+6x+q=0 удовлетворяет условию x_2=2x_1. Найти q, x_1, x_2.

1) Докажем неравенство:

$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4 $$

Преобразуем левую часть:

$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =(a+b)\cdot \frac{a+b}{ab} =\frac{(a+b)^2}{ab} $$

Тогда

$$ \frac{(a+b)^2}{ab}-4 =\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} =\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0. $$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$ab>0$$, а значит неравенство верно.

2) Найдём $$q$$, $$x_1$$ и $$x_2$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+6x+q=0$$ имеем:

$$ x_1+x_2=-6,\qquad x_1x_2=q. $$

По условию $$x_2=2x_1$$. Тогда

$$ x_1+2x_1=-6 $$

$$ 3x_1=-6 $$

$$ x_1=-2. $$

Следовательно,

$$ x_2=2\cdot(-2)=-4. $$

Теперь найдём $$q$$:

$$ q=x_1x_2=(-2)\cdot(-4)=8. $$

Ответ

$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4; \qquad x_1=-2,\ x_2=-4,\ q=8. $$