Упр.463 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Решить графически уравнение:
1) $$\sqrt{x}=x$$;
2) $$\sqrt{x}=-x+1$$;
3) $$\sqrt{x}=x-2$$;
4) $$\sqrt{x}=3x-4$$;
5) $$\sqrt{x}=\frac{1}{x}$$;
6) $$\sqrt{x}=\frac{2}{x}$$. - Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет два действительных корня $$x_1$$ и $$x_2$$. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $$-x_1$$ и $$-x_2$$.
$$\sqrt{x}=x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=x^2$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
$$\sqrt{x}=-x+1$$
Область определения: $$x\ge 0$$, а также $$-x+1\ge 0$$, значит $$0\le x\le 1$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(1-x)^2$$
$$x=1-2x+x^2$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$
С учётом ОДЗ подходит только
$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38$$
$$\sqrt{x}=x-2$$
Область определения: $$x\ge 0$$, а также $$x-2\ge 0$$, значит $$x\ge 2$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(x-2)^2$$
$$x=x^2-4x+4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$(x-1)(x-4)=0$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{x}=3x-4$$
Область определения: $$x\ge 0$$, а также $$3x-4\ge 0$$, значит $$x\ge \frac{4}{3}$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(3x-4)^2$$
$$x=9x^2-24x+16$$
$$9x^2-25x+16=0$$
$$x=\frac{25\pm 7}{18}$$
$$x=1 \text{ или } x=\frac{16}{9}$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac{16}{9}\approx 1{,}8$$.
$$\sqrt{x}=\frac{1}{x}$$
Область определения: $$x>0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=\frac{1}{x^2}$$
$$x^3=1$$
$$x=1$$
$$\sqrt{x}=\frac{2}{x}$$
Область определения: $$x>0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=\frac{4}{x^2}$$
$$x^3=4$$
$$x=\sqrt[3]{4}\approx 1{,}59$$
Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
Для корней $$-x_1$$ и $$-x_2$$ сумма равна
$$(-x_1)+(-x_2)=-(x_1+x_2)=p,$$
а произведение остаётся тем же:
$$(-x_1)(-x_2)=x_1x_2=q.$$
Следовательно, искомое приведённое квадратное уравнение:
$$x^2-px+q=0.$$
Ответ
1) $$x=0,\;1$$; 2) $$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38$$; 3) $$x=4$$; 4) $$x=\frac{16}{9}\approx 1{,}8$$; 5) $$x=1$$; 6) $$x=\sqrt[3]{4}\approx 1{,}59$$; искомое уравнение: $$x^2-px+q=0$$.
