Упр.460 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^3-3x^2+2x;
2) x^3+4x^2-21x;
3) x^3+5x^2-24x;
4) x^3-9x^2-22x.

Докажем неравенство:

$$a-\sqrt{ab}+b\ge \sqrt{ab}.$$

Перенесём $$\sqrt{ab}$$ в левую часть:

$$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0.$$

Левая часть раскладывается в квадрат разности:

$$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство верно при любых $$a>0$$ и $$b>0$$.

Разложим на множители:

1. $$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2).$$

2. $$x^3+4x^2-21x=x(x^2+4x-21)=x(x+7)(x-3).$$

3. $$x^3+5x^2-24x=x(x^2+5x-24)=x(x+8)(x-3).$$

4. $$x^3-9x^2-22x=x(x^2-9x-22)=x(x-11)(x+2).$$

Ответ

$$a-\sqrt{ab}+b\ge \sqrt{ab}.$$

1) $$x(x-1)(x-2)$$;

2) $$x(x+7)(x-3)$$;

3) $$x(x+8)(x-3)$$;

4) $$x(x-11)(x+2)$$.