Упр.46 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a + a/(a-1);
2) b — b/(b-2);
3) c + 1 — c^2/(c-1);
4) a^2/(a+1) — a + 1.
Доказать, что:
1) если x(x+2)<(x-2)(x+3), то x<-6; 2) если x(x+6)>(x+1)(x+4), то x>4;
3) если (x-3)^29;
4) если x(3+x)<(x+2)^2, то x>-4.

1. $$a+\frac{a}{a-1}=\frac{a(a-1)}{a-1}+\frac{a}{a-1}=\frac{a^2-a+a}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}.$$

2. $$b-\frac{b}{b-2}=\frac{b(b-2)}{b-2}-\frac{b}{b-2}=\frac{b^2-2b-b}{b-2}=\frac{b^2-3b}{b-2}.$$

3. $$c+1-\frac{c^2}{c-1}=\frac{(c+1)(c-1)}{c-1}-\frac{c^2}{c-1}=\frac{c^2-1-c^2}{c-1}=\frac{-1}{c-1}=\frac{1}{1-c}.$$

4. $$\frac{a^2}{a+1}-a+1=\frac{a^2-(a-1)(a+1)}{a+1}=\frac{a^2-a^2+1}{a+1}=\frac{1}{a+1}.$$

5. Если $$x(x+2)<(x-2)(x+3),$$ то
   $$x^2+2x<x^2+x-6.$$
   Вычтем $$x^2+x$$ из обеих частей:
   $$x<-6.$$

6. Если $$x(x+6)>(x+1)(x+4),$$ то
   $$x^2+6x>x^2+5x+4.$$
   Вычтем $$x^2+5x$$ из обеих частей:
   $$x>4.$$

7. Если $$(x-3)^2<x(x-5),$$ то
   $$x^2-6x+9<x^2-5x.$$
   Прибавим $$x^2+6x$$ к обеим частям:
   $$9<x,$$
   значит,
   $$x>9.$$

8. Если $$x(3+x)<(x+2)^2,$$ то
   $$x^2+3x<x^2+4x+4.$$
   Вычтем $$x^2+4x$$ из обеих частей:
   $$-x<4,$$
   значит,
   $$x>-4.$$

Ответ

1) $$\frac{a^2}{a-1}$$; 2) $$\frac{b^2-3b}{b-2}$$; 3) $$\frac{1}{1-c}$$; 4) $$\frac{1}{a+1}$$; 5) $$x<-6$$; 6) $$x>4$$; 7) $$x>9$$; 8) $$x>-4$$.