Упр.458 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) vxy•(x/y vxy-2v(y/x)-v(1/xy)),где x>0,y>0;
2) (a/b v(1/ab)-1/b v(a/b)-bv(b/a)) :vab,где a>0,b>0.
Сократить дробь:
1) (x^2+x-2)/(x-1);
2) (x^2+4x-12)/(x-2);
3) (x+3)/(x^2-6x-27);
4) (x-8)/(x^2-x-56);
5) (2x^2-3x-2)/(4x^2-1);
6) (3x^2+8x-3)/(9x^2-1).
$$\sqrt{xy}\left(\frac{x}{y}\sqrt{xy}-2\sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{1}{xy}}\right)$$
Преобразуем каждое слагаемое в скобках:
$$\sqrt{xy}\cdot \frac{x}{y}\sqrt{xy}=x^2,$$
$$\sqrt{xy}\cdot 2\sqrt{\frac{y}{x}}=2y,$$
$$\sqrt{xy}\cdot \sqrt{\frac{1}{xy}}=1.$$
Тогда
$$\sqrt{xy}\left(\frac{x}{y}\sqrt{xy}-2\sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{1}{xy}}\right)=x^2-2y-1.$$
$$\left(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{1}{ab}}-\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}-b\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\sqrt{ab}$$
Преобразуем выражение в скобках:
$$\frac{a}{b}\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}, \qquad \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}, \qquad b\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}}.$$
Первые два слагаемых сокращаются, поэтому
$$\left(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{1}{ab}}-\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}-b\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\sqrt{ab}=-\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}}:\sqrt{ab}.$$
Так как $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},$$ получаем
$$-\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\cdot \frac{1}{\sqrt{ab}}=-\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}\sqrt{b}}=-\frac{b}{a}.$$
$$\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=x+2,\qquad x\ne 1.$$
$$\frac{x^2+4x-12}{x-2}=\frac{(x+6)(x-2)}{x-2}=x+6,\qquad x\ne 2.$$
$$\frac{x+3}{x^2-6x-27}=\frac{x+3}{(x-9)(x+3)}=\frac{1}{x-9},\qquad x\ne -3,\; x\ne 9.$$
$$\frac{x-8}{x^2-x-56}=\frac{x-8}{(x-8)(x+7)}=\frac{1}{x+7},\qquad x\ne 8,\; x\ne -7.$$
$$\frac{2x^2-3x-2}{4x^2-1}=\frac{(2x+1)(x-2)}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{x-2}{2x-1},\qquad x\ne -\frac12,\; x\ne \frac12.$$
$$\frac{3x^2+8x-3}{9x^2-1}=\frac{(3x-1)(x+3)}{(3x-1)(3x+1)}=\frac{x+3}{3x+1},\qquad x\ne \frac13,\; x\ne -\frac13.$$
Ответ
1) $$x^2-2y-1$$; 2) $$-\frac{b}{a}$$; 3) $$x+2$$; 4) $$x+6$$; 5) $$\frac{1}{x-9}$$; 6) $$\frac{1}{x+7}$$; 7) $$\frac{x-2}{2x-1}$$; 8) $$\frac{x+3}{3x+1}$$.
