Упр.456 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (vab-ab/(a+vab)) :(a^2 b)/(a-b);
2) ((a+vb)/(a-vb)+(a-vb)/(a+vb))•(a-vb)/(a^2+b);
3) ((c-vd)/(c+vd)-(c+vd)/(c-vd)) :(2cvd)/(c+vd);
4) (2+vb)(2/(vb+2)-2/(2-vb)+2b/(4-b)).
Подбором найти корни уравнения:
1) x^2+5x+6=0;
2) x^2-7x+12=0;
3) x^2-6x+5=0;
4) x^2+8x+7=0;
5) x^2-8x+15=0;
6) x^2+2x-15=0.

1. $$\left(\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right):\frac{a^2b}{a-b}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
   $$\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab})-ab}{a+\sqrt{ab}}=\frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}.$$

   Тогда
   $$ \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}:\frac{a^2b}{a-b} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}\cdot\frac{a-b}{a^2b}. $$
   Сократим:
   $$ \frac{\sqrt{ab}(a-b)}{(a+\sqrt{ab})ab}. $$
   Так как $$ab=(\sqrt a\sqrt b)^2$$, получаем
   $$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{a\sqrt b}. $$

2. $$ \left(\frac{a+\sqrt b}{a-\sqrt b}+\frac{a-\sqrt b}{a+\sqrt b}\right)\cdot\frac{a-\sqrt b}{a^2+b} $$

   Сложим дроби в скобках:
   $$ \frac{(a+\sqrt b)^2+(a-\sqrt b)^2}{(a-\sqrt b)(a+\sqrt b)} = \frac{2a^2+2b}{a^2-b} = \frac{2(a^2+b)}{(a-\sqrt b)(a+\sqrt b)}. $$

   Тогда
   $$ \frac{2(a^2+b)}{(a-\sqrt b)(a+\sqrt b)}\cdot\frac{a-\sqrt b}{a^2+b} = \frac{2}{a+\sqrt b}. $$

3. $$ \left(\frac{c-\sqrt d}{c+\sqrt d}-\frac{c+\sqrt d}{c-\sqrt d}\right):\frac{2c\sqrt d}{c+\sqrt d} $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(c-\sqrt d)^2-(c+\sqrt d)^2}{(c+\sqrt d)(c-\sqrt d)} = \frac{-4c\sqrt d}{c^2-d}. $$

   Деление заменим умножением:
   $$ \frac{-4c\sqrt d}{c^2-d}\cdot\frac{c+\sqrt d}{2c\sqrt d} = \frac{-2(c+\sqrt d)}{c^2-d}. $$
   Так как $$c^2-d=(c-\sqrt d)(c+\sqrt d)$$, получаем
   $$ -\frac{2}{c-\sqrt d} = \frac{2}{\sqrt d-c}. $$

4. $$ (2+\sqrt b)\left(\frac{2}{\sqrt b+2}-\frac{2}{2-\sqrt b}+\frac{2b}{4-b}\right) $$

   Заметим, что $$4-b=(2-\sqrt b)(2+\sqrt b)$$. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$ \frac{2(2-\sqrt b)-2(2+\sqrt b)+2b}{(2-\sqrt b)(2+\sqrt b)}. $$
   Числитель:
   $$ 4-2\sqrt b-4-2\sqrt b+2b=2b-4\sqrt b=2\sqrt b(\sqrt b-2). $$
   Тогда
   $$ \frac{2\sqrt b(\sqrt b-2)}{(2-\sqrt b)(2+\sqrt b)} = -\frac{2\sqrt b}{2+\sqrt b}. $$

   Умножаем на $$2+\sqrt b$$:
   $$ (2+\sqrt b)\cdot\left(-\frac{2\sqrt b}{2+\sqrt b}\right)=-2\sqrt b. $$

Ход решения

1. $$x^2+5x+6=0$$
   $$ (x+2)(x+3)=0 $$
   $$x=-2,\; x=-3.$$

2. $$x^2-7x+12=0$$
   $$ (x-3)(x-4)=0 $$
   $$x=3,\; x=4.$$

3. $$x^2-6x+5=0$$
   $$ (x-1)(x-5)=0 $$
   $$x=1,\; x=5.$$

4. $$x^2+8x+7=0$$
   $$ (x+1)(x+7)=0 $$
   $$x=-1,\; x=-7.$$

5. $$x^2-8x+15=0$$
   $$ (x-3)(x-5)=0 $$
   $$x=3,\; x=5.$$

6. $$x^2+2x-15=0$$
   $$ (x+5)(x-3)=0 $$
   $$x=-5,\; x=3.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a\sqrt b}$$; 2) $$\frac{2}{a+\sqrt b}$$; 3) $$\frac{2}{\sqrt d-c}$$; 4) $$-2\sqrt b$$.

Корни уравнений: 1) $$x=-3,\,-2$$; 2) $$x=3,\,4$$; 3) $$x=1,\,5$$; 4) $$x=-7,\,-1$$; 5) $$x=3,\,5$$; 6) $$x=-5,\,3$$.