Упр.455 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти значение выражения $$2x^2-5ax+2a^2$$ при $$x=\sqrt{6}+\sqrt{5}$$ и $$a=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$.
2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $$x_1$$ и $$x_2$$:
   1) $$x_1=3,\ x_2=-1$$;
   2) $$x_1=2,\ x_2=3$$;
   3) $$x_1=-4,\ x_2=-5$$;
   4) $$x_1=-3,\ x_2=6$$.

1) Подставим $$x=\sqrt{6}+\sqrt{5}$$ и $$a=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$ в выражение:

$$2x^2-5ax+2a^2 =2(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2-5(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})+2(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2.$$

Вычислим по формуле разности квадратов:

$$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{30}+5=11+2\sqrt{30},$$
$$(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2=6-2\sqrt{30}+5=11-2\sqrt{30},$$
$$(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})=6-5=1.$$

Тогда
$$2(11+2\sqrt{30})-5\cdot 1+2(11-2\sqrt{30}) =22+4\sqrt{30}-5+22-4\sqrt{30}=39.$$

2) Для приведённого квадратного уравнения с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ используем формулу:

$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$

1. $$x_1=3,\; x_2=-1$$

   $$x_1+x_2=2,\quad x_1x_2=-3,$$
   поэтому
   $$x^2-2x-3=0.$$

2. $$x_1=2,\; x_2=3$$

   $$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=6,$$
   поэтому
   $$x^2-5x+6=0.$$

3. $$x_1=-4,\; x_2=-5$$

   $$x_1+x_2=-9,\quad x_1x_2=20,$$
   поэтому
   $$x^2+9x+20=0.$$

4. $$x_1=-3,\; x_2=6$$

   $$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=-18,$$
   поэтому
   $$x^2-3x-18=0.$$

Ответ

1) $$39$$;

2) $$x^2-2x-3=0$$;

3) $$x^2-5x+6=0$$;

4) $$x^2+9x+20=0$$;

5) $$x^2-3x-18=0$$.