Упр.454 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) y=v(x^2-2x+1)+v(x^2-6x+9) при а) x<1; б) 1?x?3; в) x>3;
2) y=v(a^2-4a+4)+v(a^2-10a+25) при: а) a<2; б) 2?a?5; в) a>5.
(Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней:
1) x^2+4x-5=0;
2) x^2+5x+3=0;
3) x^2-5x+3=0;
4) x^2-8x-7=0.

Подробный ответ

1) $$y=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}=|x-1|+|x-3|.$$

а) При $$x<1$$ имеем $$|x-1|=1-x,$$ $$|x-3|=3-x,$$ значит

$$y=1-x+3-x=4-2x.$$

б) При $$1\le x\le 3$$ имеем $$|x-1|=x-1,$$ $$|x-3|=3-x,$$ значит

$$y=x-1+3-x=2.$$

в) При $$x>3$$ имеем $$|x-1|=x-1,$$ $$|x-3|=x-3,$$ значит

$$y=x-1+x-3=2x-4.$$

2) $$y=\sqrt{a^2-4a+4}+\sqrt{a^2-10a+25}=\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a-2|+|a-5|.$$

а) При $$a<2$$ имеем $$|a-2|=2-a,$$ $$|a-5|=5-a,$$ значит

$$y=2-a+5-a=7-2a.$$

б) При $$2\le a\le 5$$ имеем $$|a-2|=a-2,$$ $$|a-5|=5-a,$$ значит

$$y=a-2+5-a=3.$$

в) При $$a>5$$ имеем $$|a-2|=a-2,$$ $$|a-5|=a-5,$$ значит

$$y=a-2+a-5=2a-7.$$

3) Чтобы определить знаки корней квадратного уравнения, используем теорему Виета: если $$x_1+x_2<0,$$ а $$x_1x_2<0,$$ то корни разных знаков; если $$x_1+x_2>0$$ и $$x_1x_2>0,$$ то корни одного знака.

1) $$x^2+4x-5=0$$

$$x_1+x_2=-4,\quad x_1x_2=-5.$$

Значит, $$x_1<0,\ x_2>0.$$

2) $$x^2+5x+3=0$$

$$x_1+x_2=-5,\quad x_1x_2=3.$$

Значит, оба корня отрицательные: $$x_1<0,\ x_2<0.$$

3) $$x^2-5x+3=0$$

$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=3.$$

Значит, оба корня положительные: $$x_1>0,\ x_2>0.$$

4) $$x^2-8x-7=0$$

$$x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=-7.$$

Значит, $$x_1>0,\ x_2<0.$$