Упр.443 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Построить график функции: 1) $$y=\sqrt{x^2-2x+1}$$; 2) $$y=\sqrt{x^2-6x+9}$$.
2. Найти все значения $$q$$, при которых уравнение $$x^2-2x+q=0$$: 1) имеет два различных корня; 2) имеет один корень.

1) Преобразуем выражение под корнем:

$$y=\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}.$$

Так как $$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|,$$ получаем

$$y= \begin{cases} x-1, & x\ge 1,\\ 1-x, & x<1. \end{cases}$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$(1,0)$$.

2) Аналогично:

$$y=\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|,$$

то есть

$$y= \begin{cases} x-3, & x\ge 3,\\ 3-x, & x<3. \end{cases}$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$(3,0)$$.

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2x+q=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot q=4-4q.$$

1) Уравнение имеет два различных корня, если $$D>0$$:

$$4-4q>0,$$

$$1-q>0,$$

$$q<1.$$

2) Уравнение имеет один корень, если $$D=0$$:

$$4-4q=0,$$

$$q=1.$$

Ответ

1) $$y=|x-1|$$, то есть $$y=x-1$$ при $$x\ge 1$$ и $$y=1-x$$ при $$x<1$$; вершина графика $$(1,0)$$.

2) $$y=|x-3|$$, то есть $$y=x-3$$ при $$x\ge 3$$ и $$y=3-x$$ при $$x<3$$; вершина графика $$(3,0)$$.

Для уравнения $$x^2-2x+q=0$$: 1) $$q<1$$; 2) $$q=1$$.