Упр.442 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любых положительных чисел $$a$$ и $$b$$ справедливо неравенство:
   
   1) $$\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$;
   
   2) $$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$.
2. Найдите все значения $$a$$, при которых уравнение $$ax^2+3x+2=0$$, где $$a\neq0$$:
   
   1) имеет два различных корня;
   
   2) не имеет корней;
   
   3) имеет один корень.

1) Докажем неравенство

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac1a+\frac1b}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Тогда

$$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(a+b)-2ab}{a+b}=\frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-2ab}{a+b}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{a+b}\ge 0.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}>0$$, $$a+b>0$$, а $$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge 0$$. Значит, неравенство верно.

2) Докажем неравенство

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}.$$

Рассмотрим разность:

$$\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}-\sqrt a-\sqrt b.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a\sqrt a+b\sqrt b-a\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt{ab}}.$$

Сгруппируем:

$$\frac{a(\sqrt a-\sqrt b)-b(\sqrt a-\sqrt b)}{\sqrt{ab}}=\frac{(a-b)(\sqrt a-\sqrt b)}{\sqrt{ab}}.$$

Так как $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$$, получаем

$$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$

3) Найдём значения $$a$$, при которых уравнение

$$ax^2+3x+2=0,\qquad a\ne 0$$

имеет два различных корня, не имеет корней или имеет один корень.

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot a\cdot 2=9-8a.$$

Тогда:

• два различных корня, если $$D>0$$, то есть $$9-8a>0$$, откуда $$a<\frac98$$;
• корней нет, если $$D<0$$, то есть $$9-8a<0$$, откуда $$a>\frac98$$;
• один корень, если $$D=0$$, то есть $$9-8a=0$$, откуда $$a=\frac98$$.

Ответ

1) Неравенство верно. 2) Неравенство верно. 3) $$a<\frac98$$ — два различных корня; $$a>\frac98$$ — корней нет; $$a=\frac98$$ — один корень.