Упр.427 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать равенство: $$\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}},$$ если $$a\geq\sqrt{b},\ b\geq0.$$
2. Решить уравнение:
   
   1) $$\frac{x^2-9}{x-3}=0;$$
   
   2) $$\frac{2x+x^2}{x+2}=0.$$

1) Докажем равенство:

$$\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}, \quad \text{если } a\ge \sqrt b,\ b\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}\right)^2=\left(\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}\right)^2.$$

Получаем:

$$2a+2\sqrt{a^2-b}=a+\sqrt b+a-\sqrt b+2\sqrt{(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)}.$$

Так как

$$(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)=a^2-b,$$

то правая часть равна

$$2a+2\sqrt{a^2-b}.$$

Следовательно, равенство верно.

2) Решим уравнение

$$\frac{x^2-9}{x-3}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-9=0, \quad x\ne 3.$$

$$x^2=9,$$

$$x=-3 \text{ или } x=3.$$

Но $$x=3$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,

$$x=-3.$$

3) Решим уравнение

$$\frac{2x+x^2}{x+2}=0.$$

Тогда

$$2x+x^2=0, \quad x\ne -2.$$

$$x(x+2)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=-2.$$

Но $$x=-2$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,

$$x=0.$$

Ответ

$$\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}; \quad x=-3; \quad x=0.$$