Упр.416 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   1) $$3\sqrt{20}-\sqrt{5}$$;
   2) $$\frac{1}{3}\sqrt{18}+2\sqrt{2}$$;
   3) $$2\sqrt{27}-\sqrt{12}$$;
   4) $$2\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\frac{1}{4}\sqrt{16}$$;
   5) $$3\sqrt{48}-\sqrt{75}+\frac{1}{7}\sqrt{147}$$.
2. Доказать, что если число $$x_0$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, где $$c\ne0$$, то число $$\frac{1}{x_0}$$ — корень уравнения $$cx^2+bx+a=0$$.

1. $$3\sqrt{20}-\sqrt{5}=3\cdot 2\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\sqrt{5}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}.$$
2. $$\frac13\sqrt{18}+2\sqrt{2}=\frac13\cdot 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$$
3. $$2\sqrt{27}-\sqrt{12}=2\cdot 3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$
4. $$2\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\frac14\sqrt{16}=2\cdot 2\sqrt{5}-2\cdot 3\sqrt{5}+\frac14\cdot 4$$
   $$=4\sqrt{5}-6\sqrt{5}+1=1-2\sqrt{5}.$$
5. $$3\sqrt{48}-\sqrt{75}+\frac17\sqrt{147}=3\cdot 4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\frac17\cdot 7\sqrt{3}$$
   $$=12\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}=8\sqrt{3}.$$

Докажем утверждение. Пусть $$x_0$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, где $$c\ne 0$$. Тогда

$$ax_0^2+bx_0+c=0.$$

Разделим это равенство на $$x_0^2$$:

$$a+\frac{b}{x_0}+\frac{c}{x_0^2}=0.$$

Перепишем в другом порядке:

$$c\left(\frac{1}{x_0}\right)^2+b\left(\frac{1}{x_0}\right)+a=0.$$

Значит, $$\frac{1}{x_0}$$ — корень уравнения $$cx^2+bx+a=0$$.

Ответ

1) $$5\sqrt{5}$$; 2) $$3\sqrt{2}$$; 3) $$4\sqrt{3}$$; 4) $$1-2\sqrt{5}$$; 5) $$8\sqrt{3}$$.

Если $$x_0$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, где $$c\ne 0$$, то $$\frac{1}{x_0}$$ — корень уравнения $$cx^2+bx+a=0$$.