Упр.414 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа):
1) $$\sqrt{16x}$$;
2) $$\sqrt{2x^2}$$;
3) $$\sqrt{5a^4}$$;
4) $$\sqrt{3a^6}$$. - Найти такое положительное число $$b$$, чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение:
1) $$x^2+bx+4=0$$;
2) $$x^2-bx+9=0$$;
3) $$x^2-8x+b=0$$;
4) $$x^2+\frac{2}{3}x+b=0$$.
1) Вынесем множитель из-под знака корня:
$$\sqrt{16x}=\sqrt{16}\sqrt{x}=4\sqrt{x}.$$
$$\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\sqrt{x^2}=x\sqrt{2},$$
так как $$x$$ — положительное число.
$$\sqrt{5a^4}=\sqrt{5}\sqrt{a^4}=a^2\sqrt{5},$$
так как $$a>0$$.
$$\sqrt{3a^6}=\sqrt{3}\sqrt{a^6}=a^3\sqrt{3}.$$
2) Подберём положительное число $$b$$, чтобы квадратный трёхчлен был квадратом двучлена.
1) $$x^2+bx+4=0.$$
Нужно, чтобы $$x^2+bx+4=(x+2)^2=x^2+4x+4,$$ значит, $$b=4.$$
Тогда
$$x^2+4x+4=0$$
$$\left(x+2\right)^2=0$$
$$x+2=0$$
$$x=-2.$$
2) $$x^2-bx+9=0.$$
Нужно, чтобы $$x^2-bx+9=(x-3)^2=x^2-6x+9,$$ значит, $$b=6.$$
Тогда
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x-3=0$$
$$x=3.$$
3) $$x^2-8x+b=0.$$
Нужно, чтобы $$x^2-8x+b=(x-4)^2=x^2-8x+16,$$ значит, $$b=16.$$
Тогда
$$x^2-8x+16=0$$
$$\left(x-4\right)^2=0$$
$$x-4=0$$
$$x=4.$$
4) $$x^2+\frac{2}{3}x+b=0.$$
Нужно, чтобы $$x^2+\frac{2}{3}x+b=\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9},$$ значит, $$b=\frac{1}{9}.$$
Тогда
$$x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$
$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=0$$
$$x+\frac{1}{3}=0$$
$$x=-\frac{1}{3}.$$
Ответ
1) $$4\sqrt{x};\ x\sqrt{2};\ a^2\sqrt{5};\ a^3\sqrt{3}.$$
2) $$b=4,\ x=-2;\quad b=6,\ x=3;\quad b=16,\ x=4;\quad b=\frac{1}{9},\ x=-\frac{1}{3}.$$
