Упр.414 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) v16x;
2) v(2x^2 );
3) v(5a^4 );
4) v(3a^6 ).
Найти такое положительное число b, чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение:
1) x^2+bx+4=0;
2) x^2-bx+9=0;
3) x^2-8x+b=0;
4) x^2+2/3 x+b=0.

1) Вынесем множитель из-под знака корня:

$$\sqrt{16x}=\sqrt{16}\sqrt{x}=4\sqrt{x}.$$

$$\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\sqrt{x^2}=x\sqrt{2},$$

так как $x$ — положительное число.

$$\sqrt{5a^4}=\sqrt{5}\sqrt{a^4}=a^2\sqrt{5},$$

так как $a>0$.

$$\sqrt{3a^6}=\sqrt{3}\sqrt{a^6}=a^3\sqrt{3}.$$

2) Подберём положительное число $b$, чтобы квадратный трёхчлен был квадратом двучлена.

1) $$x^2+bx+4=0.$$

Нужно, чтобы $$x^2+bx+4=(x+2)^2=x^2+4x+4,$$ значит, $$b=4.$$

Тогда

$$x^2+4x+4=0$$
$$\left(x+2\right)^2=0$$
$$x+2=0$$
$$x=-2.$$

2) $$x^2-bx+9=0.$$

Нужно, чтобы $$x^2-bx+9=(x-3)^2=x^2-6x+9,$$ значит, $$b=6.$$

Тогда

$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x-3=0$$
$$x=3.$$

3) $$x^2-8x+b=0.$$

Нужно, чтобы $$x^2-8x+b=(x-4)^2=x^2-8x+16,$$ значит, $$b=16.$$

Тогда

$$x^2-8x+16=0$$
$$\left(x-4\right)^2=0$$
$$x-4=0$$
$$x=4.$$

4) $$x^2+\frac{2}{3}x+b=0.$$

Нужно, чтобы $$x^2+\frac{2}{3}x+b=\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9},$$ значит, $$b=\frac{1}{9}.$$

Тогда

$$x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$
$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=0$$
$$x+\frac{1}{3}=0$$
$$x=-\frac{1}{3}.$$

Ответ

1) $$4\sqrt{x};\ x\sqrt{2};\ a^2\sqrt{5};\ a^3\sqrt{3}.$$

2) $$b=4,\ x=-2;\quad b=6,\ x=3;\quad b=16,\ x=4;\quad b=\frac{1}{9},\ x=-\frac{1}{3}.$$