Упр.400 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Показать, что:
   1) $$4 < \sqrt{17} < 5$$; 2) $$3 < \sqrt{10} < 4$$; 3) $$3{,}1 < \sqrt{10} < 3{,}2$$.
2. Сравнить $$\sqrt{a+b}$$ и $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$, где $$a \geq 0$$ и $$b \geq 0$$.

1) Так как $$16<17<25,$$ то после извлечения квадратного корня получаем

$$4<\sqrt{17}<5.$$

2) Так как $$9<10<16,$$ то

$$3<\sqrt{10}<4.$$

3) Так как $$9{,}61<10<10{,}24,$$ то

$$3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2.$$

Сравним $$\sqrt{a+b}$$ и $$\sqrt a+\sqrt b,$$ где $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0.$$ Оба выражения неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:

$$\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b,$$

$$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b.$$

Тогда

$$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2=2\sqrt{ab}\ge 0.$$

Значит,

$$\sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b.$$

Ответ

$$4<\sqrt{17}<5,$$ $$3<\sqrt{10}<4,$$ $$3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2,$$ $$\sqrt{a+b}\le \sqrt a+\sqrt b.$$