Упр.399 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:

   1) $$4$$ и $$\sqrt{15}$$; 2) $$2{,}7$$ и $$\sqrt{7}$$; 3) $$\sqrt{3{,}26}$$ и $$1{,}8$$; 4) $$\sqrt{18{,}49}$$ и $$4{,}3$$.

2. Упростить выражение:

   1) $$y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}$$ при:

   а) $$x<4$$; б) $$4\leq x\leq 6$$; в) $$x>6$$;

   2) $$y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}$$ при:

   а) $$x<\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$$; в) $$x>\frac{1}{2}$$.

1) Сравним числа, представив их в виде квадратных корней:

$$4=\sqrt{16}>\sqrt{15},$$
$$2{,}7=\sqrt{7{,}29}>\sqrt{7},$$
$$1{,}8=\sqrt{3{,}24}<\sqrt{3{,}26},$$ $$4{,}3=\sqrt{18{,}49}=\sqrt{18{,}49}.$$

Значит:

$$4>\sqrt{15},\quad 2{,}7>\sqrt{7},\quad \sqrt{3{,}26}>1{,}8,\quad \sqrt{18{,}49}=4{,}3.$$

2) Упростим выражение:

$$y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}=\sqrt{(x-4)^2}+\sqrt{(x-6)^2}=|x-4|+|x-6|.$$

Рассмотрим случаи.

а) При $$x<4$$ имеем $$|x-4|=4-x,$$ $$|x-6|=6-x,$$ поэтому
$$y=4-x+6-x=10-2x.$$

б) При $$4\le x\le 6$$ имеем $$|x-4|=x-4,$$ $$|x-6|=6-x,$$ поэтому
$$y=x-4+6-x=2.$$

в) При $$x>6$$ имеем $$|x-4|=x-4,$$ $$|x-6|=x-6,$$ поэтому
$$y=x-4+x-6=2x-10.$$

3) Упростим выражение:

$$y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}=\sqrt{(2x-1)^2}+\sqrt{(3x-1)^2}=|2x-1|+|3x-1|.$$

Рассмотрим случаи.

а) При $$x<\frac13$$ оба выражения под модулем отрицательны, значит
$$y=1-2x+1-3x=2-5x.$$

б) При $$\frac13\le x\le \frac12$$ имеем $$2x-1\le 0,$$ $$3x-1\ge 0,$$ поэтому
$$y=1-2x+3x-1=x.$$

в) При $$x>\frac12$$ оба выражения под модулем положительны, значит
$$y=2x-1+3x-1=5x-2.$$

Ответ

1) $$4>\sqrt{15},\ \ 2{,}7>\sqrt{7},\ \ \sqrt{3{,}26}>1{,}8,\ \ \sqrt{18{,}49}=4{,}3.$$
2) $$y= \begin{cases} 10-2x, & x<4,\\ 2, & 4\le x\le 6,\\ 2x-10, & x>6; \end{cases}$$
3) $$y= \begin{cases} 2-5x, & x<\frac13,\\ x, & \frac13\le x\le \frac12,\\ 5x-2, & x>\frac12. \end{cases}$$