Упр.398 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x=5; 2) x=1; 3) x=0; 4) x=-5.
Доказать, что для любых чисел a и b справедливо неравенство (a+b)/2?v((a^2+b^2)/2).

$$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|.$$

1) При $$x=5$$:

$$|5-1|=|4|=4.$$

2) При $$x=1$$:

$$|1-1|=|0|=0.$$

3) При $$x=0$$:

$$|0-1|=|-1|=1.$$

4) При $$x=-5$$:

$$|-5-1|=|-6|=6.$$

Докажем неравенство

$$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

Если $$a+b<0$$, то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, значит неравенство верно.

Если $$a+b\ge 0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2.$$

Тогда

$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Умножим на $$4$$:

$$a^2+2ab+b^2\le 2a^2+2b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$

Это верно при любых $$a$$ и $$b$$, значит исходное неравенство справедливо для любых чисел $$a$$ и $$b$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$0$$; 3) $$1$$; 4) $$6$$. Неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.