Упр.397 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Упростить: 1) $$\sqrt{n^8}$$; 2) $$\sqrt{x^{12}}$$; 3) $$\sqrt{a^{14}}$$, $$a>0$$; 4) $$\sqrt{b^6}$$.
2. Доказать, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$$.

1) $$\sqrt{n^8}=\sqrt{(n^4)^2}=|n^4|=n^4,$$ так как $$n^4\ge 0.$$

2) $$\sqrt{x^{12}}=\sqrt{(x^6)^2}=|x^6|=x^6,$$ так как $$x^6\ge 0.$$

3) $$\sqrt{a^{14}}=\sqrt{(a^7)^2}=|a^7|=a^7,$$ так как $$a>0$$ по условию.

4) $$\sqrt{b^6}=\sqrt{(b^3)^2}=|b^3|.$$

Докажем, что при $$a>0$$ и $$b>0$$ выполняется неравенство $$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{(a+b)(a+b)}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}.$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2}{ab}-4 = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то $$ab>0,$$ а $$\left(a-b\right)^2\ge 0.$$ Значит,

$$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0,$$

следовательно,

$$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$

Ответ

1) $$n^4$$; 2) $$x^6$$; 3) $$a^7$$; 4) $$|b^3|$$; $$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$