Упр.393 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) v(5+v(3+v2) ) ; 2) v(v(8+v2) -1); 3) v(6v5-v13) .
Доказать, что если a>0,b>0,то a-vab+b?vab.

Вычислим значения выражений, округляя до $$0{,}01$$:

1) $$\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt2}} \approx \sqrt{5+\sqrt{4{,}4142}} \approx \sqrt{5+2{,}101} \approx \sqrt{7{,}101} \approx 2{,}664 \approx 2{,}66.$$
2) $$\sqrt{\sqrt{8+\sqrt2}-1} \approx \sqrt{\sqrt{9{,}4142}-1} \approx \sqrt{3{,}068-1} \approx \sqrt{2{,}068} \approx 1{,}438 \approx 1{,}44.$$
3) $$\sqrt{6\sqrt5-\sqrt{13}} \approx \sqrt{6\cdot 2{,}2361-3{,}6055} \approx \sqrt{13{,}4166-3{,}6055} \approx \sqrt{9{,}8111} \approx 3{,}132 \approx 3{,}13.$$

Докажем неравенство. Пусть $$a>0$$, $$b>0$$. Тогда

$$a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\ge 0,$$

то есть
$$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0.$$

Но
$$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0,$$

следовательно,
$$a-\sqrt{ab}+b\ge \sqrt{ab}.$$

Ответ

1) $$2{,}66$$; 2) $$1{,}44$$; 3) $$3{,}13$$; $$a-\sqrt{ab}+b\ge \sqrt{ab}.$$