Упр.375 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Верно ли равенство:
- $$\sqrt{16}=4$$;
- $$\sqrt{100}=10$$;
- $$\sqrt{25}=-5$$;
- $$\sqrt{0}=0$$?
- Доказать, что для любых положительных чисел $$a$$ и $$b$$ справедливо неравенство:
- $$\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$;
- $$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{b}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$.
1) Проверим равенства:
$$\sqrt{16}=4$$
— верно, так как $$4^2=16$$.
$$\sqrt{100}=10$$
— верно, так как $$10^2=100$$.
$$\sqrt{25}=-5$$
— неверно, так как квадратный корень неотрицателен, а $$-5<0$$.
$$\sqrt{0}=0$$
— верно.
2) Докажем неравенство
$$\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac1a+\frac1b}.$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.$$
Тогда нужно доказать, что
$$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(a+b)-2ab}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{a+b}\ge 0.$$
Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}>0$$ и $$a+b>0$$, а $$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge 0$$. Значит, неравенство верно.
3) Докажем неравенство
$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$
Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то
$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}=\frac{a}{\sqrt b},\qquad \sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{b}{\sqrt a}.$$
Рассмотрим разность левой и правой частей:
$$\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}-\sqrt a-\sqrt b =\frac{a\sqrt a+b\sqrt b-a\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt{ab}}.$$
Сгруппируем:
$$\frac{a\sqrt a-a\sqrt b+b\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt{ab}} =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a-b)}{\sqrt{ab}}.$$
Так как $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$$, получаем
$$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}}\ge 0.$$
Следовательно,
$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$
Ответ
1) верны равенства $$\sqrt{16}=4$$, $$\sqrt{100}=10$$, $$\sqrt{0}=0$$; равенство $$\sqrt{25}=-5$$ неверно.
2) $$\sqrt{ab}\ge \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}$$.
3) $$\sqrt{\dfrac{a^2}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b$$.
