Упр.375 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) v16=4; 2) v100=10; 3) v25=-5; 4) v0=0.
Доказать, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
1) vab?2/(1/a+1/b);
2) v(a^2/b)+v(b^2/b)?va+vb.

1) Проверим равенства:

$$\sqrt{16}=4$$
— верно, так как $$4^2=16$$.

$$\sqrt{100}=10$$
— верно, так как $$10^2=100$$.

$$\sqrt{25}=-5$$
— неверно, так как квадратный корень неотрицателен, а $$-5<0$$.

$$\sqrt{0}=0$$
— верно.

2) Докажем неравенство

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac1a+\frac1b}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ \sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(a+b)-2ab}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b} =\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{a+b}\ge 0. $$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}>0$$ и $$a+b>0$$, а $$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge 0$$. Значит, неравенство верно.

3) Докажем неравенство

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}=\frac{a}{\sqrt b},\qquad \sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{b}{\sqrt a}.$$

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ \frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}-\sqrt a-\sqrt b =\frac{a\sqrt a+b\sqrt b-a\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt{ab}}. $$

Сгруппируем:

$$ \frac{a\sqrt a-a\sqrt b+b\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt{ab}} =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a-b)}{\sqrt{ab}}. $$

Так как $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$$, получаем

$$ \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}}\ge 0. $$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b.$$

Ответ

1) верны равенства $$\sqrt{16}=4$$, $$\sqrt{100}=10$$, $$\sqrt{0}=0$$; равенство $$\sqrt{25}=-5$$ неверно.
2) $$\sqrt{ab}\ge \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}$$.
3) $$\sqrt{\dfrac{a^2}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{a}}\ge \sqrt a+\sqrt b$$.