Упр.372 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^2 = 7; 2) x^2 = 4,5; 3) x^3 = -2,5; 4) x^3 = 3,5;
5) |x| = -3; 6) |x| = 4; 7) 1/x = -3; 8) 3/x = 2,5. Доказать с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство v(a/b)+v(b/a)?2.

1. $$x^2=7$$

   Графики $$y=x^2$$ и $$y=7$$ пересекаются в двух точках, поэтому

   $$x\approx -2{,}6 \text{ и } x\approx 2{,}6.$$

2. $$x^2=4{,}5$$

   Графики $$y=x^2$$ и $$y=4{,}5$$ пересекаются в двух точках, поэтому

   $$x\approx -2{,}1 \text{ и } x\approx 2{,}1.$$

3. $$x^3=-2{,}5$$

   Графики $$y=x^3$$ и $$y=-2{,}5$$ пересекаются в одной точке, поэтому

   $$x\approx -1{,}3.$$

4. $$x^3=3{,}5$$

   Графики $$y=x^3$$ и $$y=3{,}5$$ пересекаются в одной точке, поэтому

   $$x\approx 1{,}5.$$

5. $$|x|=-3$$

   Так как $$|x|\ge 0$$ при любых $$x$$, уравнение решений не имеет.

6. $$|x|=4$$

   Отсюда

   $$x=-4 \text{ или } x=4.$$

7. $$\frac{1}{x}=-3$$

   $$x\ne 0,$$

   $$x=-\frac{1}{3}\approx -0{,}3.$$

8. $$\frac{3}{x}=2{,}5$$

   $$x\ne 0,$$

   $$x=\frac{3}{2{,}5}=1{,}2.$$

Докажем неравенство:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\ge 2.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ и $$\sqrt{\frac{b}{a}}$$ имеем

$$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}}{2}\ge \sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot \sqrt{\frac{b}{a}}}=\sqrt{1}=1.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\ge 2.$$

Ответ

1) $$x\approx -2{,}6,\ 2{,}6$$; 2) $$x\approx -2{,}1,\ 2{,}1$$; 3) $$x\approx -1{,}3$$; 4) $$x\approx 1{,}5$$; 5) корней нет; 6) $$x=-4,\ 4$$; 7) $$x=-\frac{1}{3}$$; 8) $$x=1{,}2$$; $$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\ge 2.$$