Упр.37 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Выполнить действия:
   
   1) $$\frac{2}{3a}+\frac{1}{a}$$;
   
   2) $$\frac{1}{b}-\frac{2}{5b}$$;
   
   3) $$\frac{c}{15a}+\frac{d}{3}$$;
   
   4) $$\frac{a}{4}-\frac{b}{12d}$$.
2. Доказать, что если $$a>-1$$ и $$a\ne1$$, то $$a^3+1>a^2+a$$.

1. $$\frac{2}{3a}+\frac{1}{a}=\frac{2}{3a}+\frac{3}{3a}=\frac{5}{3a}.$$
2. $$\frac{1}{b}-\frac{2}{5b}=\frac{5}{5b}-\frac{2}{5b}=\frac{3}{5b}.$$
3. $$\frac{c}{15a}+\frac{d}{3}=\frac{c}{15a}+\frac{5ad}{15a}=\frac{c+5ad}{15a}.$$
4. $$\frac{a}{4}-\frac{b}{12d}=\frac{3ad}{12d}-\frac{b}{12d}=\frac{3ad-b}{12d}.$$

Докажем, что при $$a>-1$$ и $$a\ne 1$$ выполняется неравенство $$a^3+1>a^2+a$$.

Перенесём всё в одну сторону:
$$a^3+1-a^2-a>0.$$

Разложим на множители:
$$a^3+1-a^2-a=a^3-a^2-a+1=a^2(a-1)-(a-1)=(a-1)(a^2-1)=(a-1)^2(a+1).$$

Так как $$a>-1$$, то $$a+1>0$$, а при $$a\ne 1$$ имеем $$\left(a-1\right)^2>0$$. Значит,
$$\left(a-1\right)^2(a+1)>0,$$
следовательно,
$$a^3+1>a^2+a.$$

Ответ

$$\frac{5}{3a};\ \frac{3}{5b};\ \frac{c+5ad}{15a};\ \frac{3ad-b}{12d}.$$
Неравенство доказано.