Упр.360 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить графически уравнение:
   1) $$\frac{1}{x}=x+2$$;
   2) $$2x-1=\frac{1}{x}$$;
   3) $$-x+2=-\frac{1}{x}$$;
   4) $$-\frac{1}{x}=1-x$$;
   5) $$\frac{2}{x}=x^2$$;
   6) $$x^3=\frac{2}{x}$$.
2. Доказать равенство: $$\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}$$, если $$a\geq\sqrt{b}$$, $$b\geq0$$.

1. $$\frac{1}{x}=x+2$$

   Рассмотрим графики функций $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=x+2$$. Точки их пересечения дают решения уравнения.

   $$x\approx -2{,}4,\quad x\approx 0{,}4.$$

2. $$2x-1=\frac{1}{x}$$

   Рассмотрим графики функций $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=2x-1$$.

   $$x=-0{,}5,\quad x=1.$$

3. $$-x+2=-\frac{1}{x}$$

   Рассмотрим графики функций $$y=-\frac{1}{x}$$ и $$y=-x+2$$.

   $$x\approx -0{,}4,\quad x\approx 2{,}4.$$

4. $$-\frac{1}{x}=1-x$$

   Рассмотрим графики функций $$y=-\frac{1}{x}$$ и $$y=1-x$$.

   $$x\approx -0{,}6,\quad x\approx 1{,}6.$$

5. $$\frac{2}{x}=x^2$$

   Рассмотрим графики функций $$y=\frac{2}{x}$$ и $$y=x^2$$.

   $$x\approx 1{,}2.$$

6. $$x^3=\frac{2}{x}$$

   Рассмотрим графики функций $$y=x^3$$ и $$y=\frac{2}{x}$$.

   $$x\approx -1{,}2,\quad x\approx 1{,}2.$$

7. Докажем равенство

   $$\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}},\quad \text{если } a\ge \sqrt{b},\ b\ge 0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}\right)^2 = \left(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2$$

   $$2a+2\sqrt{a^2-b} = a+\sqrt{b}+2\sqrt{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}+a-\sqrt{b}$$

   $$2a+2\sqrt{a^2-b} = 2a+2\sqrt{a^2-b}.$$

   Равенство доказано.

Ответ

1) $$x\approx -2{,}4,\ 0{,}4$$; 2) $$x=-0{,}5,\ 1$$; 3) $$x\approx -0{,}4,\ 2{,}4$$; 4) $$x\approx -0{,}6,\ 1{,}6$$; 5) $$x\approx 1{,}2$$; 6) $$x\approx -1{,}2,\ 1{,}2$$; равенство доказано.