Упр.36 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Выполнить действия:
   1) $$\frac{c+d}{2a}+\frac{2c-d}{2a}$$;
   2) $$\frac{a+d}{2c}-\frac{a-b}{2c}$$;
   3) $$\frac{10a-b}{a^3}-\frac{3a-b}{a^3}$$.
2. Доказать, что если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a?b$$, то выполняется неравенство $$a^4+b^4>a^3b+ab^3$$.

1. $$\frac{c+d}{2a}+\frac{2c-d}{2a}=\frac{c+d+2c-d}{2a}=\frac{3c}{2a}.$$
2. $$\frac{a+d}{2c}-\frac{a-b}{2c}=\frac{a+d-a+b}{2c}=\frac{b+d}{2c}.$$
3. $$\frac{10a-b}{a^3}-\frac{3a-b}{a^3}=\frac{10a-b-3a+b}{a^3}=\frac{7a}{a^3}=\frac{7}{a^2}.$$

Докажем неравенство при $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a\ne b$$:

$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$a^4+b^4-a^3b-ab^3 =a^3(a-b)-b^3(a-b) =(a-b)(a^3-b^3)$$
$$=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) =(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$a\ne b$$, то $$\,(a-b)^2>0$$. Кроме того, при $$a>0$$ и $$b>0$$ имеем $$a^2+ab+b^2>0$$. Значит,

$$a^4+b^4-a^3b-ab^3>0,$$

то есть

$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$

Ответ

1) $$\frac{3c}{2a}$$; 2) $$\frac{b+d}{2c}$$; 3) $$\frac{7}{a^2}$$; $$a^4+b^4>a^3b+ab^3$$.