Упр.35 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$n$$ — натуральное число. Найти общий знаменатель дробей:
   1) $$\frac{1}{x^{4n}-y^{4n}}$$, $$\frac{1}{x^{2n}-y^{2n}}$$ и $$\frac{1}{x^n-y^n}$$;
   2) $$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}}$$, $$\frac{1}{a^n-b^n}$$ и $$\frac{1}{a^n+b^n}$$.
2. Доказать, что если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — положительные числа и $$a>b$$, то:
   1) $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$;
   2) $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}$$.

1) Разложим знаменатели на множители:

$$x^{4n}-y^{4n}=(x^{2n}-y^{2n})(x^{2n}+y^{2n})=(x^n-y^n)(x^n+y^n)(x^{2n}+y^{2n}),$$
$$x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n).$$

Следовательно, общий знаменатель для дробей $$\frac{1}{x^{4n}-y^{4n}},\ \frac{1}{x^{2n}-y^{2n}},\ \frac{1}{x^n-y^n}$$ равен

$$x^{4n}-y^{4n}.$$

2) Аналогично:

$$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n).$$

Значит, общий знаменатель для дробей $$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}},\ \frac{1}{a^n-b^n},\ \frac{1}{a^n+b^n}$$ равен

$$a^{2n}-b^{2n}.$$

3) Докажем неравенство $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$ при $$a>b>0,\ c>0.$$

$$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b} =\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)} =\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)} =\frac{c(b-a)}{b(b+c)}.$$

Так как $$c>0,$$ $$b-a<0,$$ а $$b(b+c)>0,$$ то

$$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}<0.$$

Следовательно,

$$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}.$$

4) Теперь докажем неравенство $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}.$$

$$\frac{b+c}{a+c}-\frac{b}{a} =\frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(a+c)} =\frac{ab+ac-ab-bc}{a(a+c)} =\frac{c(a-b)}{a(a+c)}.$$

Так как $$c>0,$$ $$a-b>0,$$ а $$a(a+c)>0,$$ то

$$\frac{c(a-b)}{a(a+c)}>0.$$

Следовательно,

$$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}.$$

Ответ

1) $$x^{4n}-y^{4n}$$;
2) $$a^{2n}-b^{2n}$$;
3) $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$;
4) $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}$$.