Упр.34 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Привести дроби к общему знаменателю:

1) $$\frac{5a}{a^3-27},\ \frac{a-3}{a^2+3a+9}$$ и $$\frac{1}{a-3}$$;

2) $$\frac{3}{x+2},\ \frac{x+1}{x^3+8}$$ и $$\frac{x+2}{x^2-2x+4}$$;

3) $$\frac{2m}{(m-n)^3},\ \frac{2n}{(m-n)^2}$$ и $$\frac{1}{m^2-n^2}$$;

4) $$\frac{1}{k^3+3k^2+3k+1},\ \frac{2}{k^2-1}$$ и $$\frac{3}{k^2+2k+1}$$.
Два мальчика купили одинаковое число марок. Первый выбрал все марки по 50 р. Второй половину марок купил по 30 р., а остальные — по 60 р. Какой мальчик истратил денег больше?

Подробный ответ

Разложим знаменатели на множители:
$$a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9)$$
Тогда общий знаменатель равен $$(a-3)(a^2+3a+9)$$.
$$\frac{5a}{a^3-27}=\frac{5a}{(a-3)(a^2+3a+9)}$$
$$\frac{a-3}{a^2+3a+9}=\frac{(a-3)^2}{(a-3)(a^2+3a+9)}$$
$$\frac{1}{a-3}=\frac{a^2+3a+9}{(a-3)(a^2+3a+9)}$$
Разложим знаменатели:
$$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$
Общий знаменатель: $$(x+2)(x^2-2x+4)$$.
$$\frac{3}{x+2}=\frac{3(x^2-2x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}$$
$$\frac{x+1}{x^3+8}=\frac{x+1}{(x+2)(x^2-2x+4)}$$
$$\frac{x+2}{x^2-2x+4}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x^2-2x+4)}$$
Разложим знаменатели:
$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$
Общий знаменатель: $$(m-n)^3(m+n)$$.
$$\frac{2m}{(m-n)^3}=\frac{2m(m+n)}{(m-n)^3(m+n)}$$
$$\frac{2n}{(m-n)^2}=\frac{2n(m-n)(m+n)}{(m-n)^3(m+n)}=\frac{2n(m^2-n^2)}{(m-n)^3(m+n)}$$
$$\frac{1}{m^2-n^2}=\frac{(m-n)^2}{(m-n)^3(m+n)}$$
Разложим знаменатели:
$$k^3+3k^2+3k+1=(k+1)^3,\quad k^2-1=(k-1)(k+1),\quad k^2+2k+1=(k+1)^2$$
Общий знаменатель: $$(k+1)^3(k-1)$$.
$$\frac{1}{k^3+3k^2+3k+1}=\frac{k-1}{(k-1)(k+1)^3}$$
$$\frac{2}{k^2-1}=\frac{2(k+1)^2}{(k-1)(k+1)^3}$$
$$\frac{3}{k^2+2k+1}=\frac{3(k+1)(k-1)}{(k-1)(k+1)^3}=\frac{3(k^2-1)}{(k-1)(k+1)^3}$$
Пусть каждый мальчик купил по $$x$$ марок.
Первый мальчик потратил $$50x$$ руб.
Второй мальчик потратил:
$$\frac{x}{2}\cdot 30+\frac{x}{2}\cdot 60=15x+30x=45x$$
Так как $$50x>45x$$, первый мальчик истратил денег больше.