Упр.33 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Решить уравнение:
1) $$\frac{(2x+1)(x+3)}{75}-\frac{(4-x)(4+x)}{25}=\frac{x(x+2)}{15}$$;
2) $$\frac{x(x-1)}{7}-\frac{2(x^2+1)}{28}=\frac{(x-1)(x+2)}{14}$$;
3) $$\frac{(2-x)(2+x)}{3}-\frac{x-x^2}{4}=\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{7x^2}{36}$$;
4) $$\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{2x^2-3}{15}=\frac{(x-1)(x+1)}{3}$$. - Доказать, что при любых значениях $$a$$ и $$b$$ верно неравенство:
1) $$a(a+b)>ab-2$$;
2) $$b(a+2b)>ab-3$$;
3) $$2ab-1
$$\frac{(2x+1)(x+3)}{75}-\frac{(4-x)(4+x)}{25}=\frac{x(x+2)}{15}$$
Умножим обе части на $$75$$:
$$(2x+1)(x+3)-3(4-x)(4+x)=5x(x+2)$$
Раскроем скобки:
$$2x^2+7x+3-3(16-x^2)=5x^2+10x$$
$$2x^2+7x+3-48+3x^2=5x^2+10x$$
$$-3x=45$$
$$x=-15$$$$\frac{x(x-1)}{7}-\frac{2(x^2+1)}{28}=\frac{(x-1)(x+2)}{14}$$
Умножим обе части на $$28$$:
$$4x(x-1)-2(x^2+1)=2(x-1)(x+2)$$
Раскроем скобки:
$$4x^2-4x-2x^2-2=2(x^2+x-2)$$
$$2x^2-4x-2=2x^2+2x-4$$
$$-6x=-2$$
$$x=\frac{1}{3}$$$$\frac{(2-x)(2+x)}{3}-\frac{x-x^2}{4}=\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{7x^2}{36}$$
Умножим обе части на $$36$$:
$$12(2-x)(2+x)-9(x-x^2)=4(x-1)^2-7x^2$$
Раскроем скобки:
$$12(4-x^2)-9x+9x^2=4(x^2-2x+1)-7x^2$$
$$48-12x^2-9x+9x^2=4x^2-8x+4-7x^2$$
$$48-3x^2-9x=-3x^2-8x+4$$
$$-9x=-44$$
$$x=\frac{44}{9}$$$$\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{2x^2-3}{15}=\frac{(x-1)(x+1)}{3}$$
Умножим обе части на $$15$$:
$$3(x-2)^2+2x^2-3=5(x^2-1)$$
Раскроем скобки:
$$3(x^2-4x+4)+2x^2-3=5x^2-5$$
$$3x^2-12x+12+2x^2-3=5x^2-5$$
$$-12x=-14$$
$$x=\frac{7}{6}$$
Проверим неравенства.
$$a(a+b)-(ab-2)=a^2+2>0$$
Значит, $$a(a+b)>ab-2$$ при любых $$a$$ и $$b$$.$$b(a+2b)-(ab-3)=2b^2+3>0$$
Значит, $$b(a+2b)>ab-3$$ при любых $$a$$ и $$b$$.$$b(2a+b)-(2ab-1)=b^2+1>0$$
Следовательно, $$2ab-1<b(2a+b)$$ при любых $$a$$ и $$b$$.$$a(3b+a)-(3ab-2)=a^2+2>0$$
Значит, $$3ab-2<a(3b+a)$$ при любых $$a$$ и $$b$$.
Ответ
1) $$x=-15$$; 2) $$x=\frac{1}{3}$$; 3) $$x=\frac{44}{9}$$; 4) $$x=\frac{7}{6}$$.
Неравенства верны при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
