Упр.33 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (2x+1)(x+3)/75 — (4-x)(4+x)/25 = x(x+2)/15;
2) x(x-1)/7 — 2(x^2+1)/28 = (x-1)(x+2)/14;
3) (2-x)(2+x)/3 — (x-x^2)/4 = (x-1)^2/9 — (7x^2)/36;
4) (x-2)^2/5 + (2x^2-3)/15 = (x-1)(x+1)/3.
Доказать, что при любых значениях a и b верно неравенство:
1) a(a+b)>ab-2;
2) b(a+2b)>ab-3;
3) 2ab-1

1. $$\frac{(2x+1)(x+3)}{75}-\frac{(4-x)(4+x)}{25}=\frac{x(x+2)}{15}$$
   Умножим обе части на $$75$$:
   $$ (2x+1)(x+3)-3(4-x)(4+x)=5x(x+2) $$
   Раскроем скобки:
   $$ 2x^2+7x+3-3(16-x^2)=5x^2+10x $$
   $$ 2x^2+7x+3-48+3x^2=5x^2+10x $$
   $$ -3x=45 $$
   $$ x=-15 $$

2. $$\frac{x(x-1)}{7}-\frac{2(x^2+1)}{28}=\frac{(x-1)(x+2)}{14}$$
   Умножим обе части на $$28$$:
   $$ 4x(x-1)-2(x^2+1)=2(x-1)(x+2) $$
   Раскроем скобки:
   $$ 4x^2-4x-2x^2-2=2(x^2+x-2) $$
   $$ 2x^2-4x-2=2x^2+2x-4 $$
   $$ -6x=-2 $$
   $$ x=\frac{1}{3} $$

3. $$\frac{(2-x)(2+x)}{3}-\frac{x-x^2}{4}=\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{7x^2}{36}$$
   Умножим обе части на $$36$$:
   $$ 12(2-x)(2+x)-9(x-x^2)=4(x-1)^2-7x^2 $$
   Раскроем скобки:
   $$ 12(4-x^2)-9x+9x^2=4(x^2-2x+1)-7x^2 $$
   $$ 48-12x^2-9x+9x^2=4x^2-8x+4-7x^2 $$
   $$ 48-3x^2-9x=-3x^2-8x+4 $$
   $$ -9x=-44 $$
   $$ x=\frac{44}{9} $$

4. $$\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{2x^2-3}{15}=\frac{(x-1)(x+1)}{3}$$
   Умножим обе части на $$15$$:
   $$ 3(x-2)^2+2x^2-3=5(x^2-1) $$
   Раскроем скобки:
   $$ 3(x^2-4x+4)+2x^2-3=5x^2-5 $$
   $$ 3x^2-12x+12+2x^2-3=5x^2-5 $$
   $$ -12x=-14 $$
   $$ x=\frac{7}{6} $$

Проверим неравенства.

1. $$ a(a+b)-(ab-2)=a^2+2>0 $$
   Значит, $$a(a+b)>ab-2$$ при любых $$a$$ и $$b$$.

2. $$ b(a+2b)-(ab-3)=2b^2+3>0 $$
   Значит, $$b(a+2b)>ab-3$$ при любых $$a$$ и $$b$$.

3. $$ b(2a+b)-(2ab-1)=b^2+1>0 $$
   Следовательно, $$2ab-1<b(2a+b)$$ при любых $$a$$ и $$b$$.

4. $$ a(3b+a)-(3ab-2)=a^2+2>0 $$
   Значит, $$3ab-2<a(3b+a)$$ при любых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

1) $$x=-15$$; 2) $$x=\frac{1}{3}$$; 3) $$x=\frac{44}{9}$$; 4) $$x=\frac{7}{6}$$.
Неравенства верны при любых значениях $$a$$ и $$b$$.