Упр.32 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Привести к общему знаменателю:
1) $$\frac{1}{a^2-4b^2}$$, $$\frac{1}{3a^2+6ab}$$ и $$\frac{1}{2ab-a^2}$$;
2) $$\frac{5}{4x-4}$$, $$\frac{4x}{1-x^2}$$ и $$\frac{1}{3x^2+3x}$$;
3) $$\frac{5x}{x^2-4}$$, $$\frac{3x+y}{x^2+4x+4}$$ и $$\frac{y-x}{x^2-4x+4}$$;
4) $$\frac{3a}{2a-3}$$, $$\frac{4a}{2a+3}$$ и $$\frac{5b}{4a^2c-9c}$$. - Доказать, что при любых значениях $$a$$ верно неравенство:
1) $$a^3 < (a+1)(a^2-a+1)$$;
2) $$(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)$$;
3) $$1+(3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a)$$;
4) $$(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2$$.
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b),$$
$$3a^2+6ab=3a(a+2b),$$
$$2ab-a^2=a(2b-a)=-a(a-2b).$$Общий знаменатель: $$3a(a-2b)(a+2b).$$ Тогда
$$\frac{1}{a^2-4b^2}=\frac{3a}{3a(a-2b)(a+2b)},$$
$$\frac{1}{3a^2+6ab}=\frac{a-2b}{3a(a-2b)(a+2b)},$$
$$\frac{1}{2ab-a^2}=-\frac{3(a+2b)}{3a(a-2b)(a+2b)}.$$Разложим знаменатели:
$$4x-4=4(x-1),$$
$$1-x^2=(1-x)(1+x)=-(x-1)(x+1),$$
$$3x^2+3x=3x(x+1).$$Общий знаменатель: $$12x(x-1)(x+1).$$ Тогда
$$\frac{5}{4x-4}=\frac{15x(x+1)}{12x(x-1)(x+1)},$$
$$\frac{4x}{1-x^2}=-\frac{48x^2}{12x(x-1)(x+1)},$$
$$\frac{1}{3x^2+3x}=\frac{4(x-1)}{12x(x-1)(x+1)}.$$Разложим знаменатели:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$
$$x^2+4x+4=(x+2)^2,$$
$$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$Общий знаменатель: $$(x-2)^2(x+2)^2.$$ Тогда
$$\frac{5x}{x^2-4}=\frac{5x(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2},$$
$$\frac{3x+y}{x^2+4x+4}=\frac{(3x+y)(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2},$$
$$\frac{y-x}{x^2-4x+4}=\frac{(y-x)(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2}.$$Разложим знаменатели:
$$4a^2c-9c=c(4a^2-9)=c(2a-3)(2a+3).$$
Общий знаменатель: $$c(2a-3)(2a+3).$$ Тогда
$$\frac{3a}{2a-3}=\frac{3ac(2a+3)}{c(2a-3)(2a+3)},$$
$$\frac{4a}{2a+3}=\frac{4ac(2a-3)}{c(2a-3)(2a+3)},$$
$$\frac{5b}{4a^2c-9c}=\frac{5b}{c(2a-3)(2a+3)}.$$
Ответ
- $$\frac{3a}{3a(a-2b)(a+2b)},\ \frac{a-2b}{3a(a-2b)(a+2b)},\ -\frac{3(a+2b)}{3a(a-2b)(a+2b)}$$
- $$\frac{15x(x+1)}{12x(x-1)(x+1)},\ -\frac{48x^2}{12x(x-1)(x+1)},\ \frac{4(x-1)}{12x(x-1)(x+1)}$$
- $$\frac{5x(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2},\ \frac{(3x+y)(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2},\ \frac{(y-x)(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2}$$
- $$\frac{3ac(2a+3)}{c(2a-3)(2a+3)},\ \frac{4ac(2a-3)}{c(2a-3)(2a+3)},\ \frac{5b}{c(2a-3)(2a+3)}$$
$$a^3<(a+1)(a^2-a+1)$$
$$(a+1)(a^2-a+1)=a^3+1,$$
значит,
$$a^3-(a+1)(a^2-a+1)=a^3-(a^3+1)=-1<0.$$$$(a+7)(a+1)<(a+2)(a+6)$$
$$(a+7)(a+1)-(a+2)(a+6)=a^2+8a+7-(a^2+8a+12)=-5<0.$$
$$1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a)$$
$$1+(3a+1)^2-(1+2a)(1+4a)=1+9a^2+6a+1-(1+6a+8a^2)=a^2+1>0.$$
$$(3a-2)(a+2)<(1+2a)^2$$
$$(3a-2)(a+2)-(1+2a)^2=3a^2+4a-4-(4a^2+4a+1)=-(a^2+5)<0.$$
Ответ
- Верно.
- Верно.
- Верно.
- Верно.
