Упр.32 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/(a^2-4b^2 ), 1/(3a^2+6ab) и 1/(2ab-a^2 );
2) 5/(4x-4), 4x/(1-x^2 ) и 1/(3x^2+3x);
3) 5x/(x^2-4), (3x+y)/(x^2+4x+4) и (y-x)/(x^2-4x+4);
4) 3a/(2a-3), 4a/(2a+3) и 5b/(4a^2 c-9c).
Доказать, что при любых значениях a верно неравенство:
1) a^3<(a+1)(a^2-a+1); 2) (a+7)(a+1)<(a+2)(a+6); 3) 1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a);
4) (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2.

1. Разложим знаменатели на множители:

   $$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b),$$
   $$3a^2+6ab=3a(a+2b),$$
   $$2ab-a^2=a(2b-a)=-a(a-2b).$$

   Общий знаменатель: $$3a(a-2b)(a+2b).$$ Тогда

   $$\frac{1}{a^2-4b^2}=\frac{3a}{3a(a-2b)(a+2b)},$$
   $$\frac{1}{3a^2+6ab}=\frac{a-2b}{3a(a-2b)(a+2b)},$$
   $$\frac{1}{2ab-a^2}=-\frac{3(a+2b)}{3a(a-2b)(a+2b)}.$$

2. Разложим знаменатели:

   $$4x-4=4(x-1),$$
   $$1-x^2=(1-x)(1+x)=-(x-1)(x+1),$$
   $$3x^2+3x=3x(x+1).$$

   Общий знаменатель: $$12x(x-1)(x+1).$$ Тогда

   $$\frac{5}{4x-4}=\frac{15x(x+1)}{12x(x-1)(x+1)},$$
   $$\frac{4x}{1-x^2}=-\frac{48x^2}{12x(x-1)(x+1)},$$
   $$\frac{1}{3x^2+3x}=\frac{4(x-1)}{12x(x-1)(x+1)}.$$

3. Разложим знаменатели:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$
   $$x^2+4x+4=(x+2)^2,$$
   $$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$

   Общий знаменатель: $$(x-2)^2(x+2)^2.$$ Тогда

   $$\frac{5x}{x^2-4}=\frac{5x(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2},$$
   $$\frac{3x+y}{x^2+4x+4}=\frac{(3x+y)(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2},$$
   $$\frac{y-x}{x^2-4x+4}=\frac{(y-x)(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2}.$$

4. Разложим знаменатели:

   $$4a^2c-9c=c(4a^2-9)=c(2a-3)(2a+3).$$

   Общий знаменатель: $$c(2a-3)(2a+3).$$ Тогда

   $$\frac{3a}{2a-3}=\frac{3ac(2a+3)}{c(2a-3)(2a+3)},$$
   $$\frac{4a}{2a+3}=\frac{4ac(2a-3)}{c(2a-3)(2a+3)},$$
   $$\frac{5b}{4a^2c-9c}=\frac{5b}{c(2a-3)(2a+3)}.$$

Ответ

1. $$\frac{3a}{3a(a-2b)(a+2b)},\ \frac{a-2b}{3a(a-2b)(a+2b)},\ -\frac{3(a+2b)}{3a(a-2b)(a+2b)}$$
2. $$\frac{15x(x+1)}{12x(x-1)(x+1)},\ -\frac{48x^2}{12x(x-1)(x+1)},\ \frac{4(x-1)}{12x(x-1)(x+1)}$$
3. $$\frac{5x(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2},\ \frac{(3x+y)(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2},\ \frac{(y-x)(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2}$$
4. $$\frac{3ac(2a+3)}{c(2a-3)(2a+3)},\ \frac{4ac(2a-3)}{c(2a-3)(2a+3)},\ \frac{5b}{c(2a-3)(2a+3)}$$

Ход решения

1. $$a^3<(a+1)(a^2-a+1)$$

   $$ (a+1)(a^2-a+1)=a^3+1,$$

   значит,
   $$a^3-(a+1)(a^2-a+1)=a^3-(a^3+1)=-1<0.$$

2. $$(a+7)(a+1)<(a+2)(a+6)$$

   $$ (a+7)(a+1)-(a+2)(a+6)=a^2+8a+7-(a^2+8a+12)=-5<0.$$

3. $$1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a)$$

   $$1+(3a+1)^2-(1+2a)(1+4a)=1+9a^2+6a+1-(1+6a+8a^2)=a^2+1>0.$$

4. $$(3a-2)(a+2)<(1+2a)^2$$

   $$(3a-2)(a+2)-(1+2a)^2=3a^2+4a-4-(4a^2+4a+1)=-(a^2+5)<0.$$

Ответ

1. Верно.
2. Верно.
3. Верно.
4. Верно.